工房「毎年の割合は「境目の量」と比べる、棒・折れ線の読み取り」1.1.0

毎年の割合は「境目の量」と比べる、棒・折れ線の読み取り

導入

グラフに数字がぎっしり並ぶと、全部計算しなければと身構えてしまいますね。今回は、年ごとの比率が指定された値を超えるか、という型です。警察・消防などの教養試験に向けて、割合の計算に慣れたい方へ。まず比較する二つを選び、割り算を最後まで続けずに答えを決める練習をします。

お題

選択肢 1 の「0.5」に注目してください。何の半分と、何を比べればよいでしょうか。

次の図から正しくいえるのはどれか。

1. 2017年から2019年までの各年についてみると、学習塾の売上高に対する結婚式場業の売上高の比率は、いずれの年も0.5を上回っている。
2. 2017年から2021年までの5か年における学習塾の売上高の年平均は、2018年の学習塾の売上高を下回っている。
3. 2018年の売上高の合計に占める外国語会話教室の売上高の割合は、2020年の売上高の合計に占める外国語会話教室の売上高の割合より大きい。
4. 2019年から2021年までについてみると、遊園地・テーマパークの売上高の3か年の累計は、結婚式場業の売上高の3か年の累計を8,000億円以上、上回っている。
5. 2021年における売上高の対前年増加率を項目別にみると、最も小さいのは、遊園地・テーマパークである。

出典：東京都・令和4年度・Ⅲ類教養・問20

図の「テーマパーク」は、選択肢の「遊園地・テーマパーク」のことです。

考え方

ポイント 比率が決まった値を超えるかは、基準の量をその倍率にした「境目の量」と比べれば判断できます。

「A に対する B の比率」は B÷A。「全体に占める B の割合」は B÷全体です。どちらも、割る相手が基準になります。0.5 は半分、5％は 0.05 倍。ここだけ揃えてから図を読みましょう。

主解法では、基準に倍率を掛けて境目を作り、大小だけを判定します。残りの肢を点検するときも、％は 10％や 1％から組み立て、平均は合計に置き換えて、同じ比べ方へ持ち込みます。

STEP1 同じ年の二つの量を選び、基準を確かめる

凡例で項目を探し、同じ年の数値を一組にします。棒の一部分なのか、積み上げた全体なのかも確認します。左右に別の目盛がある図なら、それぞれの単位まで読んでください。見かけの高さを割って比率にするのは禁物です。

操作例として、三年間の申込者と参加者を見ます。「申込者に対する参加者の比率」なら、基準は毎年の申込者です。去年の申込者を今年の参加者と組にしないこと。

STEP2 境目の量を計算し、各年の大小を確かめる

比率が 0.5 より大きいかなら、申込者を半分にし、参加者がそれを超えるかを見ます。基準の量が正なので、この比べ方で割り算と同じ結論が出ます。

ここからは差を帯で表します。長さは同じ図の中だけで比べてください。図が変わると、帯の長さを決める目盛も変わります。

三年目は境目と同じですね。比率はちょうど 0.5 なので、「0.5 を上回る」には入りません。「以上」なら等しい場合も含みます。

また、「各年とも」という記述を正しいとするには、対象の年を全部調べます。反対に、一年でも外れれば、その選択肢はそこで消せます。三年分を足した比率では、各年の代わりになりません。合計の割合が高くても、一年だけ低いことはあるからです。

平均の大小にも、この道具を使えます。小さな店の三年の売上が 40・50・60 万円だったとします。「平均が 50 万円を上回るか」なら、基準の 50 万円を三年ぶん並べて 50×3＝150 万円。実際の合計も 150 万円なので、平均は基準と同じで、上回ってはいません。

覚える合言葉は「率は基準に掛ける、平均は年数を掛ける」。どちらも、比較する基準を相手と同じ量へ直す工夫です。ただし、平均を問う肢で合計を使うことと、「各年とも」を合計で済ませることは別ですよ。何を判定する文なのかを先に読みます。

解説

STEP1 学習塾を基準にし、三年の組を読む

選択肢 1 は、結婚式場業÷学習塾を 0.5 と比べる文です。基準は学習塾。対象は 2017・2018・2019 年だけで、右側の二年は使いません。図の単位はすべて億円なので、そのまま組にできます。

ここからの図は、一年ずつ読み取る練習です。資料の下に、結婚式場業の値、学習塾の半分、両者の差を並べます。

2017 年は、学習塾の半分が 2,208 億円で、結婚式場業の 2,251 億円のほうが大きいです。

STEP2 半分との差を確かめ、残りの年を読む

最初の年は超えました。ただし、ここだけで正答にはできません。同じ操作をあと二年続けます。

2018 年は、学習塾の半分が 2,221.5 億円で、結婚式場業の 2,247 億円のほうが大きいです。

この年の差は小さいので、どちらも「約 2,200」と丸めたら区別が消えてしまいます。元の数値を半分にするだけなら、小数一桁まで残しても大変ではありません。

2019 年は、学習塾の半分が 2,244 億円で、結婚式場業の 2,538 億円のほうが大きいです。

三年とも結婚式場業が学習塾の半分を超えるので、求める比率はどの年も 0.5 より大きくなります。

これで決まりです！ 比率の小数を三本求めず、半分を超えることだけで選べました。各年の差を足して判断したのではなく、三つとも正であることを確かめています。

手元で再現する順序も整理しておきましょう。①は 2017 年の学習塾を半分にした 2,208。②はその境目と結婚式場業 2,251 を比べた差で、43 と出ます。③は最後の 2019 年の差 294 で、三年ぶんの符号を確かめ終えた状態です。上の結論図では、三つの差を一つずつ確認できます。

選択肢を一行ずつ確かめる

「確実にいえる」は資料が記述を裏付ける場合、「不適切」は資料と食い違う場合、「真偽不明」は必要な情報が足りない場合に使います。今回は必要な数値が揃っています。残りは平均や増加率も扱う、復習用の発展点検です。

肢 3 のように割合どうしを比べるときは、両者の間に入りそうな共通の率を試せます。ここでは 7％を試し、片方が下、もう片方が上と確認できれば決着です。同じ側に来たら、それだけでは大小は決まりません。肢 5 では、前年の 1％相当量を作り、増加分がその何個ぶんになるかを読みます。

• 1. 半分との差は 2017 年が 43、2018 年が 25.5、2019 年が 294 億円で、どの年も境目を超えます：確実にいえる
• 2. 2018 年の 4,443 億円を五年ぶんにすると 4,443×5＝22,215 億円。実際の五年合計 23,567 億円は 1,352 億円多いので、平均も 2018 年を上回り、記述と逆です：不適切
• 3. 総額の 7％は、2018 年が 14,716×0.07＝1,030.12 億円で、外国語会話教室の 912 は 118.12 億円下。2020 年は 9,155×0.07＝640.85 億円で、698 は 57.15 億円上。割合は 2018 年のほうが小さく、記述と逆です：不適切
• 4. 三年累計の差は 12,877−5,393＝7,484 億円で、境目の 8,000 億円に 516 億円届きません：不適切
• 5. 遊園地等は前年 2,638 の 1％が約 26.4 億円で、増加分 417 億円はその 15〜16 倍。外国語会話教室は前年 698 の 1％が 6.98 億円で、増加分 57 億円はその約 8 倍。率は約 15.8％と約 8.2％なので、外国語会話教室のほうが小さく、遊園地等を最小にはできません：不適切

肢 2 も「境目の量」の仲間でしたね。平均を計算する代わりに、基準を年数倍した量と実際の合計を比べたのです。肢 3 の境目は、およそ 1,030 と 641 と見ても十分な差があります。一方、正答の 2018 年のような僅差では、最初から粗く丸めないでください。

正解は 1 です。

五つの肢を振り返ると、使った道具は三つだけです。基準に倍率を掛けて境目を作る、1％相当量を作って増加分が何個ぶんかを読む、平均は年数倍した基準と合計で比べる。どれも割り算を最後まで進めずに済みます。逆に、割り算の商を小数第一位まで出さないと決まらない肢に見えたときは、掛け算で言い換えられないかを先に疑ってください。肢 4 のように「三年累計」と言われたら、年ごとの差を三つ足すのではなく、累計どうしの差を一度で出すほうが速く、途中の丸めも入りません。

本番の捨て時は、項目や単位を合わせても、細かな割り算のやり直しが続くとき。いったん次へ進みます。半分や十分の一との比較で決着する肢を先に探すと、時間配分を整えやすくなります。正答が決まった後の全肢点検は、学習時の練習です。

練習問題

今度は選択肢 3 の「5％」です。基準はどの量かを言ってから、同じ二段階で確かめてください。

次の図から正しくいえるのはどれか。

1.平成21年度から25年度までの各年度についてみると、集団回収量に対する計画収集量の比率は、いずれの年度も10を下回っている。
2.平成21年度から25年度までの5か年度の直接搬入量の平均は、3,800千トンを上回っている。
3.平成22年度から24年度までの各年度についてみると、ごみ総排出量に占める集団回収量の割合は、いずれの年度も5 %を上回っている。
4.平成22年度における直接搬入量を100としたとき、25年度における直接搬入量の指数は95を下回っている。
5.平成23年度から25年度までの各年度についてみると、集団回収量の対前年度増加率が最も小さいのは23年度である。

出典：東京都・平成28年度・Ⅲ類教養・問20

STEP1 総排出量を基準にし、同じ年度を読む

集団回収はごみ総排出量の一部分です。総排出量は図の合計値を使い、そこへ集団回収をもう一度足しません。対象は平成 22・23・24 年度。端の二年度は、選択肢 3 の比較から外します。

平成 22 年度は、総量の 5％が 2,267.95 千トンで、集団回収の 2,729 千トンのほうが大きいです。

STEP2 総量の 10％から半分を作り、三年度を確かめる

10％にするには、小数点を左へ一つ動かします。5％はその半分です。平成 22 年度なら総量 45,359 の 10％が 4,535.9、その半分の 2,267.95 千トンが境目です。毎回、割合の割り算を最後まで進める必要はありません。

平成 23 年度は、総量の 5％が 2,271.55 千トンで、集団回収の 2,682 千トンのほうが大きいです。

平成 24 年度は、総量の 5％が 2,261.65 千トンで、集団回収の 2,646 千トンのほうが大きいです。

対象の三年度すべてで集団回収が総量の 5％相当量を超えるので、割合は 5％より大きいと分かります。

順序はお題と同じです。①は平成 22 年度の総量 45,359 の 5％にあたる 2,267.95。②はその境目と集団回収 2,729 を比べた差で、461.05 と出ます。③は最後の平成 24 年度の差 384.35 で、三年度とも正と分かれば終了です。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題で説明した三つと同じ意味です。

• 1. 平成 21 年度の集団回収 2,792 を 10 倍した 27,920 千トンが境目。計画収集 39,616 は 11,696 千トン上回り、この年度だけで記述から外れます：不適切
• 2. 基準の 3,800 千トンの五年度ぶんは 19,000 千トン。直接搬入の合計 18,814 千トンは 186 千トン少ないので、平均は 3,800 に届きません：不適切
• 3. 平成 22・23・24 年度の順に、集団回収は総量の 5％を 461.05、410.45、384.35 千トン上回ります：確実にいえる
• 4. 基準年度の 3,803 の 10％は 380.3、その半分は 190.15。95％相当量は 3,803−190.15＝3,612.85 千トンで、およそ 3,612.8。平成 25 年度の 3,745 は厳密な境目を 132.15 千トン上回るので、指数は 95 未満になりません：不適切
• 5. 集団回収は、平成 23 年度には前年 2,729 の 1％が約 27.3 で、減少分 47 はその 1〜2 倍。25 年度は前年 2,646 の 1％が約 26.5 で、減少分 63 はその 2〜3 倍。増加率は約 −1.7％と約 −2.4％なので、23 年度を最小にはできません：不適切

肢 2 でも、基準を年度数倍して合計と比べました。肢 4 の指数は、基準年度を 100 とした値です。95 との比較も、実量を基準年度の 95％と比べれば済みます。

正解は 3 です。

最後の肢は、減った年の増加率も符号を付けて比べます。−2.4％は −1.7％より小さい値です。平成 24 年度の減少分は 36 で、前年の 1％である 26.82 の約 1.3 倍。三年度で最小なのは平成 25 年度です。

別解：分母と分子の増減で見る

練習の肢 4 を、今度は基準からの減り方で確かめます。使うのは直接搬入量の二年度だけです。

指数のもとになる分数は 3,745÷3,803。まず、分子も分母も 3,803 なら比率は 1、指数は 100 ですね。そこから分母を固定して、分子だけがいくら減ったかを見ます。

分子は分母より 58 千トン小さく、この差は分母の 1％より大きく、2％より小さい量です。

3,803 の 1％は 38.03、約 38 です。差の 58 はそのおよそ 1.5 倍なので、減少は約 1.5％。指数 95 に当たる 5％減には届きません。したがって指数は 95 より大きく、同じ判定になります。

割り算を最後まで進めなくても、分母を固定し、分子がどれだけ変わったかで位置が決まります。ここでは数が近いので、何倍かを求めるより、何％減かを見ると判断しやすいのです。

次へ

解説を閉じて、「何を基準に、どの年を、何倍した量と比べるか」を二問で言ってみましょう。次は構成比の表で、全体の量と割合から実数を求める練習へ進めます。