工房「列車の通過を、先頭と最後尾で考える」1.0.0

列車の通過を、先頭と最後尾で考える

導入

列車がトンネルを抜ける問題で、どの長さを足せばよいか迷う方に向けた教材です。「通過した」という言葉を、先頭と最後尾の位置に置き換えてみましょう。ここでいう幅とは、車体の横幅ではなく、進む方向に測った長さです。一本の電車の通過から始め、二本の電車がすれ違う場面まで、同じ二段階で解いていきます。

お題

ある電車は,長さ800 mのトンネルを一定の速さで通過するとき,電車の最前部がトンネルに入ってから,最後部がトンネルに入るまでに10秒かかり,また,電車の最前部がトンネルに入ってから,最後部がトンネルを出るまでに60秒かかる。このとき,この電車の長さは何mか。

1. 120 m
2. 140 m
3. 160 m
4. 180 m
5. 200 m

出典：国家初級・平成2年度・問16

考え方

ポイント 長さのある物体の通過は、終わりの瞬間にどの端がどこまで来るかで、必要な距離が決まります。

使うのは「距離＝速さ×時間」です。ただし、割り算を始める前に、その時間に対応する距離を決めます。先頭が出口へ着いただけでは、後ろの車両がまだトンネルに残っていますよね。

STEP1 始まりと終わりを、先頭と最後尾で読む

まず、時間を測り始める瞬間と、測り終える瞬間を書き出します。「先頭が入口」「最後尾が出口」のように、物体のどの端を見ているかも添えます。

列車が入り始めた瞬間を起点にしてみましょう。最後尾が出口へ届いたとき、先頭はそこから車体一つ分だけ先にいます。したがって、先頭が進んだ道のりには、トンネルだけでなく列車自身の長さも含まれます。

図は同じ図の中だけで長さを比べるために左端をそろえています。実際の車両の位置を並べた絵ではありません。列車長とトンネル長をつないだ分が、先頭の道のりになると読みます。

二本が向かい合ってすれ違う場合も、最初と最後を決めます。先頭どうしが並んでから、最後尾どうしが並ぶまでです。始めの瞬間には、二つの最後尾の間に両方の車体があるので、縮める間隔は二本の長さを合わせた分になります。

STEP2 距離と速さの単位をそろえ、求める量を確かめる

一本が動き、トンネルが止まっているなら、その電車の速さを使います。二本が逆向きに動くなら、最後尾どうしは両側から近づくので、二本の速さを足します。

この図の棒は車体の長さではなく、1 秒間の道のりです。20 m は二本合わせた動きで、片方だけが 20 m 進むわけではありません。

時間を秒で出すなら、速さも「1 秒に何 m」へそろえます。時速を秒速へ直すには、km を m にして、1 時間の 3,600 秒で割ります。例えば時速 36 km なら、36,000÷3,600＝10 m/秒です。

距離を速さで割れば時間、速さに時間を掛ければ距離。最後は「長さを聞かれたのか、時間なのか」を読み直します。長さを足す公式だけで走り出さず、どの二つの瞬間を比べたかへ戻れるようにしておきましょう。

解説

STEP1 三つの瞬間を、先頭と最後尾で読む

お題には、始め・10 秒後・60 秒後という三つの瞬間があります。まず動かないトンネルを確認します。

トンネルの区間は 800 m です。

図の「全通過」は、60 秒間に先頭が進む距離です。？は未確定の量です。？の棒が同じ長さに見えても、実際に等しいという意味はありません。また、図ごとに目盛の範囲は変わるので、別々の図の棒を画面上の長さで比べないでください。

始めは電車の先頭が入口にいます。10 秒後には最後尾が入口まで来ます。この間、電車はちょうど車体一つ分だけ前へ動いたことになります。速さが変わらないので、60 秒ならその六つ分です。

60 秒で進む道のりは、電車の長さの 6 倍です。

測り始めて 60 秒後には、最後尾が出口へ到着します。先頭は出口より電車一台分だけ先です。先頭が動いた全体から電車長を除くと、トンネルの区間が残ります。

「全通過」と「電車長」の棒の差が、トンネルの 800 m に当たります。

STEP2 同じ最後尾を追い、電車の長さを確かめる

ここで、先頭と最後尾を行ったり来たりせず、最後尾だけを追ってみてください。10 秒後には入口、60 秒後には出口にいます。この一つの点が、800 m を 60−10＝50 秒で動いたわけです。

電車の速さは、800÷50＝16 m/秒です。

800÷60 としたくなったら、立ち止まりましょう。最初の 10 秒間は、最後尾がまだ入口へ向かっている途中でした。800 m に対応するのは、そこから後の 50 秒間です。

最初の 10 秒で車体一つ分だけ進むので、今求めた速さを使えます。

電車の長さは、16×10＝160 m です。

図では、電車長の五つ分がトンネルに当たることも読めます。6：1 の二本の差が五つ分だからです。800÷5＝160 でも、同じ長さへ着きます。

60 秒で進む距離は 960 m で、800 m と 160 m の合計に一致します。

速さを求めただけで終わらず、電車の長さまで戻せました。これで二つの時刻とも説明できます。

選択肢を一行ずつ確かめる

求めた 160 m と一致する肢を「確実にいえる」、条件に合わない肢を「不適切」とします。今回「真偽不明」になる肢はありません。

• 1. 120 m なら五つ分は 600 m で、トンネルに足りません：不適切
• 2. 140 m なら五つ分は 700 m で、800 m には届きません：不適切
• 3. 160 m の五つ分が 800 m となり、二つの時間と一致します：確実にいえる
• 4. 180 m なら五つ分は 900 m で、トンネルより長くなります：不適切
• 5. 200 m なら五つ分は 1,000 m となり、条件に合いません：不適切

正解は 3 です。

本番の捨て時は、端の位置を書いても各時間に対応する距離を決められないとき。いったん次へ進み、残り時間で戻ります。今回は最後尾の 50 秒間が読めたので、文字式を作らず計算へ進めました。

練習問題

今度はトンネルの代わりに、もう一本の電車が動きます。すれ違う前後に、どの端どうしが並ぶかを確かめましょう。

時速90km、全長140mの上り電車と時速180km、全長160mの下り電車がすれ違うときにかかる時間として、最も妥当なものはどれか。ただし、上り電車及び下り電車の速度は一定であるものとする。

1. 2秒
2. 3秒
3. 4秒
4. 5秒
5. 6秒

出典：東京消防庁・令和7年度・Ⅲ類（1回目）・問21

STEP1 並ぶ端を読み、必要な距離を確かめる

先頭どうしが並んだ瞬間には、最後尾どうしの間に上りの 140 m と下りの 160 m があります。終わりは、その間隔がなくなって最後尾どうしが並ぶ瞬間です。

必要な距離は、140＋160＝300 m です。

STEP2 秒速にそろえ、すれ違いの時間を確かめる

上りは時速 90 km。90,000 m を 3,600 秒で割ります。

上りの電車は、1 秒に 25 m 進みます。

下りも同様に、180,000÷3,600 と計算します。

下りの電車は、1 秒に 50 m 進みます。

二本は反対向きに進むので、最後尾どうしは両側から近づきます。1 秒の間に上りが 25 m、下りが 50 m ずつ間隔を縮めます。

二本の最後尾の間隔は、1 秒に 75 m ずつ縮みます。

すれ違いに必要な時間は、300÷75＝4 秒です。

片方の速さだけで割ると、もう一本の動きを落としてしまいます。実際には 4 秒で上りが 100 m、下りが 200 m 動き、合わせて 300 m になります。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語の使い方はお題と同じです。

• 1. 2 秒では二本合わせて 150 m しか進まず、すれ違いの途中です：不適切
• 2. 3 秒では 225 m で、最後尾の間にまだ 75 m 残ります：不適切
• 3. 4 秒で 300 m を進み、最後尾どうしが並びます：確実にいえる
• 4. 5 秒では 375 m 進んでおり、すれ違いは既に終わっています：不適切
• 5. 6 秒では 450 m となり、終了した瞬間より後です：不適切

正解は 3 です。

練習の捨て時も、始まりと終わりの端を決められないときです。距離 300 m と秒速の和が出たら、図を清書せず割り算して次へ進みます。

次へ

二問の最初と最後を、先頭・最後尾という言葉で説明し直しましょう。「いつでも長さを足す」と覚えず、お題の 50 秒間にはなぜ 800 m だけを使えたかも確かめます。ここまでできたら、同じ向きに進む長い車両の追い越しで、長さの和と速さの差を組み合わせる問題へ進めます。