工房「間隔の縮み方で解く、追いつきと出会い」1.0.0

間隔の縮み方で解く、追いつきと出会い

導入

速さを足すのか、引くのか。旅人算で迷ったら、二人がどれだけ近づくかを見てください。一人ずつの移動を最後まで追わなくても、二人の間隔だけで時間が求まります。警察・消防などの教養試験に向けて、速さの基本を身につけたい方のための一講です。

今回は周回コースの過去問を二問使います。お題では出会う地点まで丁寧に調べ、練習では追い抜くまでの時間を求めます。円を頭の中でぐるぐる回す必要はありません。進んだ道のりを、線分の長さとして比べましょう。

お題

「四回目」と聞くと忙しそうですが、出会うたびに同じことが繰り返されます。まずは最初の一回に注目して読んでみてください。

1周2,100mのランニングコースがある。A、B 2人が同じスタート地点から、Aは時計回りに分速160m、Bは反時計回りに分速120mで、同時にスタートしたとき、2人が4回目にすれ違った地点のスタート地点からの距離はどれか。ただし、スタート地点からの距離は時計回りで測るものとする。

1. 300 m
2. 600 m
3. 900 m
4. 1,200 m
5. 1,500 m

出典：特別区・令和5年度・Ⅲ類・問18

考え方

ポイント 二人の間隔が縮む速さは、向かい合うときは速さの和、同じ向きに追うときは速さの差で決まります。

速さは、決まった時間に進む道のりです。分速なら 1 分、時速なら 1 時間で比べます。計算前に単位をそろえましょう。二人の間隔が縮む速さを「相対速度」と呼びますが、名前よりも足し引きの理由をつかむのが先です。

STEP1 進む向きと、同じ時間の道のりを読む

説明用に、一人は分速 80 m、もう一人は分速 50 m とします。向かい合って進めば、1 分で片側から 80 m、反対側から 50 m 近づきます。間隔は合わせて 130 m 短くなりますね。

図は道のりの大きさを比べるため、棒の左端をそろえています。二人が左端から同じ向きに出発する図ではありません。進む方向は本文で確かめ、長さは同じ図の中だけで比べてください。

次は、遅い人が前、速い人が後ろで、同じ向きに進む場合です。後ろの人が 80 m 進む間に、前の人も 50 m 逃げていきます。詰められるのは差の 30 m だけです。

ここが引き算の理由です。前の人を止めたつもりで、80 m 全部を追いつく分にしてはいけません。後ろの人が同じ速さか、それより遅ければ、前の人との間隔は縮まりません。

STEP2 必要な距離から時間を出し、問われた量を確かめる

間隔が 260 m なら、向かい合う例では 260÷130＝2 分。間隔が 150 m なら、追う例では 150÷30＝5 分です。「埋めたい距離」を「1 分で埋まる距離」で割っています。掛け戻して元の距離になるかも確かめましょう。

周回コースでは、出会いは道のりの和、追い抜きは道のりの差が一周分増すごとに起きると読み替えます。反対向きに走り始めると、最初の出会いまでに二人でコースを一周分埋めます。同じ向きなら、速い人がもう一度横に並ぶには、一周分だけ多く走る必要があります。

出発の時点を「一回すれ違った」とは数えません。また、出会う時刻が分かっても、設問が地点を尋ねていたら続きがあります。指定された向きに走る人の道のりを求め、終えた周回分を取り除いて位置へ戻します。

解説

STEP1 反対向きの道のりを、同じ時間で確かめる

まず距離の基準を置きます。これから出てくる「A の道のり」「B の道のり」は、出発から四回目の出会いまでに走る距離です。「位置」は出発点から時計回りに測る距離です。図の？は未確定で、棒の仮の長さから大小は読めません。図ごとに目盛も変わるため、数字を見てください。

コース一周の長さは 2,100 m です。

A は時計回り、B は反時計回り。1 分では 160＋120＝280 m 分を二人で進みます。図で二人の棒を比べるときも、同じ時間分をそろえるのが約束です。

同じ時間で走る道のりは、A が 4 に対して B が 3 の割合です。

160：120 を小さくした比です。まだ時間は決めていないので、A が 4 m、B が 3 m 走るという意味ではありません。

STEP2 四回分の時間を出し、時計回りの位置を確かめる

最初の出会いは二人の合計が一周分になったとき。その後も合計が一周分増すたびに出会うので、四回目には四周分です。これは「A も B も四周ずつ走る」という話ではありませんよ。

四回目までに二人が走った道のりを足すと、8,400 m になります。

2,100×4＝8,400 m。この距離を、1 分に二人で進む 280 m で割ります。

四回目にすれ違うのは、走り始めて 30 分たったときです。

8,400÷280＝30 分。一回ごとに 7.5 分、A は時計回りに 1,200 m ずつ進みます。

その間に A は 4,800 m、B は 3,600 m を走ります。

160×30 と 120×30 で求めました。足すと 8,400 m に戻ります。A が時計回りなので、最後は A 側を使うと向きを直す手間が省けます。

4,800 m は走った総距離です。出発点を通過するたびに、コース上では同じ場所へ戻ります。二周は 2,100×2＝4,200 m、三周は 6,300 m と比べます。

A の道のりは二周分以上で、三周分には届いていません。

そこで完了した二周分だけを除き、4,800−4,200＝600 m とします。一周しか引かないと 2,700 m となり、まだ一周を超えてしまいます。

四回目の出会いは、出発点から時計回りに 600 m の地点です。

選択肢を一行ずつ確かめる

今回は地点が一つに決まります。一致する肢を「確実にいえる」、異なる肢を「不適切」とします。「真偽不明」は条件不足で決まらない場合の言葉で、今回の最終判定には使いません。

• 1. 300 m は二回目に出会う位置であり、四回目の位置とは違います：不適切
• 2. 四回目の A の道のりから二周分を除いた 600 m と一致します：確実にいえる
• 3. 四回目には 600 m にいるため、900 m の地点にはいません：不適切
• 4. 1,200 m は最初に出会う位置であり、四回目ではありません：不適切
• 5. 1,500 m は三回目の位置です。四回目を反時計回りで測ってもこの値になるので、向きにも注意します：不適切

正解は 2 です。

本番の捨て時は、二人の道のりを足すか引くか決まらず、同じ箇所を読み続けたとき。次へ進み、残り時間で戻りましょう。解けた場合は正答を選んで先へ進みます。全肢の説明は復習用です。

練習問題

今度は同じ向きの追い抜きです。「もう一度横に並ぶまでに、何が一周分になるか」を自分で言ってから計算してください。

1周2kmのコースを、AとBの2人が走っている。Aの走る速さは時速16kmで、Bの走る速さは時速13kmであるとする。いまAがBを追い抜いたとすると、次にAがBを追い抜くまでにかかる時間として、最も妥当なものはどれか。ただし、走る速さは一定とする。

1. 10分
2. 20分
3. 30分
4. 40分
5. 50分

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅲ類・問21

STEP1 同じ向きの道のりを読む

一周分は、m に直すと 2,000 m です。

同じ時間で走る道のりの割合は、A が 16、B が 13 です。

A のほうが速く、同じ向きに走る B を追います。二人の道のりの差は、1 時間に 16−13＝3 km 増えます。

STEP2 一周差になる時間を出し、単位を確かめる

次の追い抜きでは、A の道のりが B より 2,000 m 長くなります。

図では m、ここでの計算は時速に合わせて km を使います。2÷3＝2/3 時間。1 時間を三等分した二つ分なので、60×2/3＝40 分です。小数の 0.67 時間を 67 分と読まないでくださいね。

次に追い抜くまでの時間は 40 分です。

図の 32000/3 m は 32,000÷3 m の意味です。二本の差は 6,000÷3＝2,000 m になります。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語の使い方はお題と同じです。

• 1. 10 分では道のりの差が 0.5 km で、一周分に届きません：不適切
• 2. 20 分では差が 1 km で、まだ半周分です：不適切
• 3. 30 分では差が 1.5 km で、一周分より短いままです：不適切
• 4. 40 分で差が初めて 2 km となり、次の追い抜きが起きます：確実にいえる
• 5. 50 分では差が 2.5 km で、次の追い抜きは既に済んでいます：不適切

正解は 4 です。

捨て時は、一周する時間と追い抜く時間の区別がつかなくなったとき。道のりの差を見る問題だと思い出せれば、その場で二人分を別々に計算する必要はありません。

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解説を閉じて、「反対向きではなぜ足すのか」「同じ向きではなぜ引くのか」を 1 分分の道のりで説明してみましょう。次は流水算で、人や船の速さに流れが加わる場合を学びます。まずは二人の向き、次に必要な距離、最後に答えの単位。この順で確かめる習慣を持って進んでください。