工房「流水算は「下りと上りの間」に注目する」1.0.0

流水算は「下りと上りの間」に注目する

導入

船は同じように漕いでいるのに、行きと帰りで時間が違う。流水算では、その違いから船自身の速さや水の流れを取り出します。警察・消防などの教養試験に向けて、速さの計算を基本から練習したい方のための一講です。船の動きをずっと想像する代わりに、下りと上りを「1 分で何 m 進むか」にそろえてみましょう。

今回は東京消防庁の過去問を二問使います。お題で静水時の速さを求め、練習では漕ぐのをやめた船が流される時間まで考えます。

お題

下りと上りのどちらが速いか、選択肢の単位とともに確認しましょう。

一定の速度で流れている川において、上流のP地点と、そこから4km下流のQ地点を往復する船がある。なお、静水時における船の速さは一定であるとする。P地点からQ地点まで船で移動すると40分かかり、Q地点からP地点まで船で移動すると80分かかるとき、この船の静水時における速さとして、最も妥当なものはどれか。

1.分速25m
2.分速50m
3.分速75m
4.分速100m
5.分速125m

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅰ類（2回目）・問21

考え方

ポイント 同じ船の下りと上りを比べると、静水時は二つの速さの真ん中、流れは二つの速さの差の半分に当たります。

「静水時」とは、水が流れていない所で船を動かす場合のこと。船が止まっている状態ではありません。水に対して船自身が進む速さ、と読んでください。下り・上りの速さは、岸から見た船の動きです。この二つを分けるのが入口になります。

STEP1 下りと上りを、1 分で進む距離に直して読む

距離を時間で割れば、速さが出ます。分速で答えるなら距離は m、時間は分にそろえます。片道の距離が同じでも、所要時間が違えば、1 分で進む距離も違います。

関係をつかむため、お題とは別に、静水時は分速 8 m、水の流れは分速 2 m の船を考えます。下流へ進むと、船自身が進む分に水が運ぶ分も加わり、岸からは 1 分で 10 m 進んで見えます。

図の棒はすべて 1 分間の距離です。川の地図や船の向きではなく、同じ図の中だけで長さを比べるため左端をそろえています。「流れ」の棒は水だけが動く分。「静水」の棒は船自身の分です。

STEP2 速さの和と差を半分にし、問われた量を確かめる

同じ船が上流へ向かうと、水に押し戻される分を引きます。先ほどの例なら 8−2＝6 なので、上りは分速 6 m です。上流へ進めているときは、船自身の速さが流れを上回っています。

下りの 10 と上りの 6 は、静水の 8 から、それぞれ 2 ずつ離れています。だから真ん中は（10＋6）÷2＝8。差の 10−6＝4 は流れの二つ分なので、さらに 2 で割ると流れの 2 が出ます。差を出しただけで流速にしない。ここは大事ですよ！

使い分けは、静水時を問われたら和を半分、水の流れを問われたら差を半分です。漕がずに進む時間なら、流速を出した後に「区間の距離÷流速」と続けます。船や流れの速さが途中で変わる場合は、この真ん中の関係をそのまま当てはめられません。今回は往復で一定という指定を使います。

解説

STEP1 距離の単位をそろえ、二つの速さを確かめる

4 km は 4,000 m です。P から Q へは下りで 40 分なので、4,000÷40 と計算します。

下りでは、1 分で 100 m 進みます。

この図から順に条件を追加していきます。？の棒は、まだ数値を決めていません。同じ長さに見えても、同じ量という意味ではありません。

Q から P への上りも、距離は同じ 4,000 m。こちらは 80 分で割ります。

上りでは、1 分で 50 m 進みます。

時間が二倍なので、速さは半分になりました。ここで（40＋80）÷2＝60 分と時間を平均し、4,000÷60 としないでください。それは往復全体の平均の速さに当たり、船自身の速さとは別です。今ほしいのは、下りと上りの速さの真ん中です。

STEP2 船自身の分と水の分を分け、元の速さを確かめる

まず下りの棒を見ます。船自身と水の流れが同じ向きに働いています。

下りの 100 m は、静水時の 1 分と流れの 1 分を足した長さです。

足して 100 と分かるだけでは、内訳は決まりません。そこへ「上りでは、同じ二つの量を引いて 50」という関係を重ねます。足した式と引いた式を合わせると、水の分は打ち消し合い、船自身の分が二つ残ります。したがって（100＋50）÷2＝75 です。

静水時には 1 分で 75 m 進みます。

続いて差も見ると、下りと上りは 100−50＝50 m 離れています。静水の棒の両側に同じ流れの分があるので、50÷2＝25 です。

水の流れが 1 分で運ぶ距離は 25 m です。

これで二つを分けられました。最後は、求めた数を元へ戻します。

静水時の 75 m に 25 m を足すと 100 m、引くと 50 m に戻ります。

下りなら 100×40＝4,000、上りなら 50×80＝4,000。どちらも同じ区間を進めています。足し引きの向きと単位を一度に確認できますね。

選択肢を一行ずつ確かめる

答えは一つの数値に定まります。それと一致する肢を「確実にいえる」、条件と両立しない肢を「不適切」とします。今回は判断を保留する「真偽不明」はありません。

• 1. 分速 25 m は水の流れの値であり、船自身の分速 75 m とは異なります：不適切
• 2. 分速 50 m は上りでの値です。ここには水に押し戻される分が含まれています：不適切
• 3. 分速 75 m なら、流れの 25 を足して下り 100、引いて上り 50 になります：確実にいえる
• 4. 分速 100 m は下りでの値で、水に運ばれる分まで含めています：不適切
• 5. 分速 125 m に流れの 25 を加減すると下り 150、上り 100 となり、条件と合いません：不適切

正解は 3 です。

本番では、静水時の速さを出して肢を選べれば先へ進めます。捨て時は、単位をそろえても、下りと上りのどの量を比較するのか整理できず止まったとき。残り時間で戻りましょう。全肢の説明は、この教材で取り違えを見つけるための練習です。

練習問題

今度は区間の距離が書かれていません。下りと上りが同じ区間という点を使い、計算しやすい距離を仮に置いてみましょう。

一定の速さで進む船が、川の上流P地点から下流Q地点まで下るのにかかる時間は20分であり、Q地点からP地点まで上るのにかかる時間は30分である。P地点からQ地点まで、船を漕がずに進むときにかかる時間として、最も妥当なものはどれか。ただし、川の流れの速さは一定であり、船を漕がないときの速さは川の流れの速さに等しいものとする。

1. 110分
2. 115分
3. 120分
4. 125分
5. 130分

出典：東京消防庁・令和5年度・Ⅲ類・問16

STEP1 仮の距離で、下りと上りの速さを確かめる

計算用に P・Q 間を 60 m と置きます。20 と 30 の両方で割り切れるからです。実際の距離が 60 m と分かったわけではありません。 仮の距離を二倍にすれば、計算される速さもすべて二倍。最後の「距離÷速さ」では両方が二倍になるため、求める時間は変わりません。

仮の区間では、下りの 1 分が 3 m になります。

60÷20＝3 と計算した値です。以下の図も、すべてこの仮の距離に対応します。

同じ仮の区間で、上りの 1 分は 2 m です。

こちらは 60÷30＝2。速さは下りのほうが大きくなっています。

STEP2 差の半分から流速を求め、時間を確かめる

下りの 3 m は、静水時と流れの 1 分ずつを足した量です。

上りは同じ二つの量を引いて 2 m。差の 3−2＝1 は流れの二つ分です。半分にして 0.5、静水時は（3＋2）÷2 で求めます。

仮の区間での流れは 1 分に 0.5 m、静水時は 1 分に 2.5 m です。

船を漕がなければ、水だけに運ばれます。使うのは静水時の 2.5 ではなく流れの 0.5。したがって 60÷0.5＝120 分です。

この流れで 120 分進むと、仮置きした 60 m に達します。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じです。

• 1. 110 分では 0.5×110＝55 m で、仮の区間の終点に届きません：不適切
• 2. 115 分では 57.5 m までなので、まだ終点の手前です：不適切
• 3. 120 分なら 0.5×120＝60 m となり、終点への所要時間と一致します：確実にいえる
• 4. 125 分まで流されると 62.5 m。終点にはその前に着いています：不適切
• 5. 130 分まで流されると 65 m となり、終点への到着時刻を過ぎています：不適切

正解は 3 です。

本番の捨て時は、仮の距離を置いても速さへ変換できず、同じ計算を繰り返し始めたときです。流速から時間まで出せたら、仮の距離の実測値を探す必要はありません。

次へ

解説を閉じて、「なぜ差を二つに分けるのか」を棒の長さで説明してみてください。それが言えたら、二問を同じ STEP で解き直しましょう。次は通過算へ進み、列車が橋を渡り切るときに必要な距離を整理します。