工房「余りの条件を範囲に直す、過不足の不等式」1.1.0

余りの条件を範囲に直す、過不足の不等式

導入

「何個より多く余る」と言われても、余りの数は一つに決まりません。そんな条件を無理に等号でつなぐと、境目の値を答えてしまいます。この一講では、過不足の文章から不等式を作り、条件が重なる範囲で答えを選びます。一次式の計算ができれば大丈夫です。まずは、数字の後ろに続く言葉を見てください。

お題

三つの配り方は、同じボールとバッグを使った比較です。アからウへ順にボールを消費する操作ではありません。数量がぴったり分かる条件と、幅だけが分かる条件を分けて読みましょう。

T大学のテニス部の練習が終わり、ボール全てをボール収納用のバッグに入れようとしたところ、次のことが分かった。
ア全てのバッグにボールを40個ずつ入れるには、ボールが100個足りない。
イ全てのバッグにボールを20個ずつ入れると、ボールは280個より多く残る。
ウ半数のバッグにボールを40個ずつ入れ、残りのバッグにボールを20個ずつ入れてもボールは残り、その数は110個未満である。
以上から判断して、ボールの個数として、正しいのはどれか。

1. 700個
2. 740個
3. 780個
4. 820個
5. 860個

出典：東京消防庁・令和5年度・職員Ⅰ類（事務）・問13

考え方

ポイント 総数を等号で表せる条件を入口にすると、残りの条件を一つの文字の下限と上限に直して、答えの候補を絞れます。

式より先に、変わらない量を決めます。ここでは、入れ方を変えても手元のボールは増減しません。人数が変わる別の問題でも、品物の追加や持ち出しがなければ総量は同じです。「同じ人数だろう」と決めつけず、何を共通の総数として扱えるかを確認するのが過不足の入口です。

STEP1 いちばんハッキリした条件で、文字を 1 つに絞る

この単元は、○＝△として等式を立てられない条件を含む問題を扱います。等式で書ける条件と混ざって出てくるのが、この型の顔つきです。先に、使う道具を三つだけ並べておきます。

例えば、箱 n 個へビー玉を 5 個ずつ入れて、全部を使い切れるとします。総数は 5n 個と書けます。箱の数だけを文字にすれば、ビー玉の総数まで別の未知数にする必要はありません。図では n＝4 の説明例を使います。

「5n」は 5 と n を並べた数字ではなく、5×n という掛け算です。n の中身が未定でも、総数の書き方は決められます。ここで決まったのは数量の関係であって、箱の数そのものではありません。

不足がある場合も、不足数まで正確なら等号を使えます。必要数に届かせるには、手持ちに不足分を加える。つまり「必要数＝手持ち＋不足分」です。今回の入口はこの関係です。

STEP2 「未満」「以上」を不等号に翻訳して、残りの条件を不等式にする

次の説明例では、ビー玉を 23 個用意したとします。配るのに 18 個使えば残りは 5 個。27 個必要なら 4 個足りません。

三本は左端をそろえた個数の比較です。手持ちより短い必要数の線を引けば余りが出ます。逆に、必要数のほうが長ければ不足です。二つの配り方を続けて実行した図ではありません。

ただし、「余りが 5 個」と「余りが 5 個未満」は別の情報です。後者で残りを 5 と置くのは早すぎます。数字だけでなく、その数字を許すかどうかまで式にしてください。

不等号の読み分け（上の三つの道具の一つ目）「未満」なら ＜、「以下」なら ≦。「より多い」なら ＞、「以上」なら ≧ を使います。下に横線のある ≦・≧ は、境目と同じ値も許します。＜・＞ では境目そのものを除きます。

例えば残りが 8 個以下なら 8 個も入りますが、8 個未満なら入りません。「未満だから 7 個」と一つに決めることもできません。残りが整数でも、それより少ない候補がまだあります。

STEP3 二本の不等式を合成し、範囲を問われた量へ直して、肢を絞る

一方の条件で下から、もう一方で上から挟みます。両方を同時に満たす部分だけが候補です。上限と下限を平均して答えを作るのではありません。整数なら間に入る整数を拾い、偶数の指定があればさらに選びます。

最後は設問の単位へ戻します。箱の数について得た範囲を、品物の個数の肢と直接比べてはいけません。両側と中央へ同じ正の数を掛け、同じ数を引けば、総数の範囲に変換できます。今回の計算では正の数だけを掛けたり割ったりするので、不等号の向きは変わりません。

解説

STEP1 アを使い、ボールの総数を n で表す

バッグを n 個とします。40 個ずつ入れる必要数は 40n 個。手元のボールに 100 個足せば、その必要数に届きます。

40n＝ボールの総数＋100。したがって、ボールの総数＝40n−100 です。以下ではこの総数を B と略記しますが、B を独立した未知数として増やすのではなく、常に 40n−100 へ置き換えます。

アの必要数は、手持ちの総数に 100 個を足した量です。

不足分を足すのは必要数を作るときです。手元の総数へ戻すときは引きます。40n＋100 としてしまうと、足りないはずのボールを余計に持っていることになりますね。

STEP2 イで下限を、ウで上限を求める

イでは 20n 個を使うので、残りは B−20n です。「280 個より多い」を、そのまま ＞ へ移します。

B−20n＞280 → 40n−100−20n＞280 → 20n＞380 → n＞19。

280 個ちょうどを認めないので、19 も含めません。ここではバッグ数の下側が分かっただけで、まだ 20 と決める段階ではありません。

ウは、半数へ 40 個、残りの半数へ 20 個です。使う量は 40×n÷2＋20×n÷2＝30n 個になります。全部へ 60 個ずつ入れる計算ではありません。「半分ずつ」なので、一箱当たりの平均が 30 個になるわけです。

残りは B−30n＝10n−100。「ボールは残り」と書いてあるので、余りは 0 個ではありません。だから下側は 0 を含まない ＞0 として読みます。その数が 110 個未満なので、0＜10n−100＜110 です。上側を整理すると 10n＜210、つまり n＜21。下側からの n＞10 は、先に得た n＞19 を満たせば自動的に満たします。

線分図の行は、それぞれの入れ方に必要なボール数です。アは 40n、イは 20n、ウは 30n。手持ちは三通りで共通です。線の見かけの長さからバッグ数を推測せず、余りの条件を不等号で読むことが大切です。

STEP3 共通範囲をボールの個数へ戻す

二本を重ねると 19＜n＜21。バッグの数は整数ですから n＝20 だけが残ります。これならバッグを半数ずつに分けることもできます。B＝40×20−100＝700 個です。

この問題では、n の値を単独で決める方程式は一本も得られません。等式の関係だけから答えを出そうとせず、残った範囲と整数条件を満たす肢を探して決める必要があります。

肢は B の値なので、範囲も B にそろえてみます。19＜n＜21 の各辺を 40 倍し、各辺から 100 を引くと、660＜40n−100＜740 です。

ボールの総数は 660 個より多くなります。

ボールの総数は 740 個未満です。

図の帯へ入る肢を見つけたら、元の条件へ戻します。700 個ならアは 800 個に 100 個不足、イは 300 個余り、ウは 100 個余ります。三つとも成立しました。

別解：肢を条件に当てはめて絞る

肢から逆に調べることもできます。アを使って n＝(B＋100)÷40 とし、各候補のバッグ数を出します。それからイの余り B−20n、ウの余り B−30n を順に確かめます。ここでは計算の結果と落ちる理由を一行にまとめます。

「確実にいえる」は全条件に合うこと、「不適切」は条件に反することです。未確認という意味ではありません。今回は全肢を計算できるので「真偽不明」は残りません。

• 1. 700 個なら n＝20、余りはイ 300 個・ウ 100 個。どちらの境界も守れます：確実にいえる
• 2. 740 個なら n＝21、余りはイ 320 個・ウ 110 個。ウが境目と等しく、未満に反します：不適切
• 3. 780 個なら n＝22、余りはイ 340 個・ウ 120 個。ウの上限を超えます：不適切
• 4. 820 個なら n＝23、余りはイ 360 個・ウ 130 個。ウの余りが多すぎます：不適切
• 5. 860 個なら n＝24、余りはイ 380 個・ウ 140 個。ウを満たせません：不適切

正解は 1 です。

肢 2 で止まった人は、「110 個まではよい」と読んでいなかったか確認しましょう。計算が合っていても、＜ を ≦ に変えれば別の判定になります。また、半数のバッグを整数個に分けられることも必要ですが、今回はウの余りだけで誤肢を全て落とせます。

時間配分では、境目を確認する時間も解答の一部として確保します。計算が終わった瞬間を解答終了にしないこと。捨て時は、何を引くと余りになるか整理できず、式を何度も作り直し始めたときです。一度次の問題へ進み、戻ったら総数の式から再開しましょう。

練習問題

アが等式、イが下限、ウが半数ずつの上限という骨格は同じです。切り替えるのは最後の一段。今回は、範囲内の整数を拾ったあと、明記された「偶数」で候補を絞ります。

公園内にある全てのプランターに、購入した球根を植えようとしたところ、次のことが分かった。なお、プランターの数は偶数とする。
ア一つのプランターに球根を30個ずつ植えると、球根は90個不足する。
イ一つのプランターに球根を20個ずつ植えると、球根の余りは215個より多くなる。
ウ半数のプランターに球根を30個ずつ植え、残りのプランターに球根を20個ずつ植えると、球根の余りは80個より少なくなる。
以上から判断して、購入した球根の個数として、正しいのはどれか。

1. 690個
2. 750個
3. 810個
4. 870個
5. 930個

出典：東京都・平成30年度・問14

STEP1 アで球根の総数を表す

プランターを n 個とすると、必要な球根は 30n 個。ここへ 90 個足りないので、30n＝球根の総数＋90 です。総数 G は、以後 30n−90 として計算します。

アの必要数は、手持ちの総数に 90 個を足した量です。

STEP2 イとウを、不等式へ直す

イの余りは G−20n＝10n−90。これが 215 個を超えるので、10n−90＞215 → 10n＞305 → n＞30.5 です。小数が出ても計算ミスではありません。整数条件を使う前の境目です。

ウで植える球根は、30×n÷2＋20×n÷2＝25n 個。余りは G−25n＝5n−90 なので、5n−90＜80 → 5n＜170 → n＜34 です。

STEP3 範囲に偶数の条件を重ねる

30.5＜n＜34 に入る整数は 31、32、33 です。ここで問題冒頭へ戻ってください。n は偶数なので 32 だけが残り、G＝30×32−90＝870 個となります。

総数の範囲は、各辺を 30 倍して 90 を引けば得られます。

球根の総数は 825 個より多くなります。

球根の総数は 930 個未満です。

この帯だけを見れば、例えば 840 個も入ります。しかしアから n＝31 となり、偶数の指定に反します。帯に入ることと、問題の全条件に合うことは分けて確かめましょう。

肢の確認は、アから n＝(G＋90)÷30 を求めて戻します。

• 1. 690 個なら n＝26、イの余りは 170 個。215 個を超えません：不適切
• 2. 750 個なら n＝28、イの余りは 190 個。下限に届きません：不適切
• 3. 810 個なら n＝30、イの余りは 210 個。ここでもイに反します：不適切
• 4. 870 個なら n＝32 で偶数、イは 230 個・ウは 70 個余り、アも 90 個不足します：確実にいえる
• 5. 930 個なら n＝34、ウの余りは 80 個。80 個より少ないという条件に反します：不適切

正解は 4 です。

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復習では、総数を一つの文字で表すところから始め、不等号の向き、共通範囲、設問の単位の順に説明してみてください。同じ数字でも「個」と「人」は混ぜません。今回のように単位が両方「個」でも、容器の数と中身の数は別です。次は「以上」「以下」を含む条件で、端を残す判断まで練習しましょう。