工房「値札と合計を分けて解く、買い物の方程式」1.0.0

値札と合計を分けて解く、買い物の方程式

導入

「何％引き」と「何円の利益」が一緒に出ると、どの数字を掛けるのか迷ってしまう。そんなときは、金額を「一個分」と「全部の分」に分けるところから始めましょう。この一講では、警察・消防などの教養試験に向けて、買い物の基本型と、お店の利益を考える売買算型を練習します。どちらも、値段を整理して合計の式へ移すのが出発点です。

使うのは割合の掛け算と方程式です。まず二つの価格を文字で置くお題で丁寧に練習し、後半は文字一つで解ける過去問へ進みます。値引きの計算ができても、そこで終わらず「何の金額を聞かれたか」まで確かめてくださいね。

お題

まず解説を隠して読んでみましょう。買い物前に考えていた値段と、店で実際に払った値段に、別の印を付けると整理できます。

リュックとヘッドホンを一個ずつ買おうと価格を調べたところ、合計は9,000円であった。店に行くと、リュックは調べた価格より10％安く、ヘッドホンは調べた価格より20％高くなっていたため、二品の支払いは合わせて9,600円となった。リュックに実際に支払った金額はいくらか。

1. 2,700円
2. 3,600円
3. 4,000円
4. 4,500円
5. 6,000円

出典：工房オリジナル（買い物計算・基本型）

考え方

ポイント 一個分の値段と全体の金額を区別し、割増・割引後の値段から、代金や利益の合計を式にすることです。

STEP1 単価と合計、割合の基準を読む

単価は一個についての値段です。「一個 260 円を三個」なら、260 円が単価、三個分の代金が合計。全部でいくら払うかは、次の形で求めます。

単価の公式 単価 × 買う個数 ＝ その品の代金

この例では 260×3＝780 円です。品物が二種類あれば、それぞれの代金を出して足します。一個ずつなら個数はどちらも 1 なので、二つの値段を足すだけでよいわけです。

次に、割合を掛ける前の金額を探します。「予定より」「定価から」といった言葉が目印です。予定価格を x 円と置いたなら、実際の価格まで同じ x 円と呼ばないでください。値段が変わる前と後を区別するために、文字を使っています。

売買算では用語も整理しましょう。原価はお店が一個を仕入れるために払った額、定価は原価にもうけを上乗せした値段で、上乗せ分は原価の何％と示されます。売値は実際に売った値段で、値引き販売なら定価と違います。利益は売値から原価を引いたもうけ。どれも一個あたりの金額で、全体は個数を掛けます。

STEP2 変化後の価格を作り、合計を式にする

元の金額を 100％ として、増える分は足し、減る分は引きます。10％引きなら、払うのは 90％。20％高いなら、払うのは 120％ です。

割増・割引の計算 a％高い価格は「元の価格 × (1＋a/100)」、a％安い価格は「元の価格 × (1−a/100)」で表せます。

たとえば x 円の 10％引きは 0.9x 円です。0.1x 円は値引きした分なので、そのまま支払額にしないようにしましょう。歩合では 1 割が 10％。また、二段階の増減は、そのつど新しい基準に掛けます。20％増しの後の 10％引きを、差し引き 10％増しとはできません。

価格を作れたら、合計の条件を式にします。買い手なら各品の代金を足し、支払総額と等号で結びます。お店側の利益なら、次の関係です。

利益の求め方 売って受け取る総額 − 仕入れに使った総額 ＝ 残った利益

売上は、仕入れに使ったお金を取り戻す分と、もうけとして残る分を合わせたものです。受け取ったお金が全部利益になるわけではありません。同じ品を何個も扱うときは、売値にも原価にも個数を掛け、両方を全体の金額にそろえてから引きます。

STEP3 方程式を解き、問われた金額を確かめる

文字が二つなら、二本の式の片方を何倍かして、一方の文字の係数をそろえます。式どうしを引けば、その文字が消え、残る一文字を求められます。これは連立方程式の消去法です。一本を何倍かするときは、等号の右側も忘れずに同じ倍にしてください。

求めた値は、最初に文字へ付けた名前の金額です。予定価格を求めても、問いが支払額なら割引の計算がもう一度必要ですね。最後は二品の支払額の合計や、売値と原価の差を出し、文章の条件へ戻します。

解説

STEP1 予定の価格を文字にし、合計を読む

リュックの予定価格を x 円、ヘッドホンの予定価格を y 円とします。どちらも購入前の値段です。一個ずつなので、予定した代金の合計から最初の式を作れます。

予定の合計を表す式は、x＋y＝9,000 です。

次に、10％安くなったのはリュック、20％高くなったのはヘッドホンです。それぞれ自分の予定価格が割合の基準。9,000 円全体に同じ率を掛ける場面ではありません。

STEP2 実際の支払額を式にする

リュックは予定の 90％、ヘッドホンは予定の 120％ を払います。

実際の価格は、リュックが 0.9x 円、ヘッドホンが 1.2y 円です。

二つを足した金額が、店で支払った 9,600 円です。

支払額の合計から、0.9x＋1.2y＝9,600 と書けます。

予定の式と実際の式がそろいました。x と 0.9x は同じリュックについての値ですが、表す時点が違います。この区別を保ったまま計算しましょう。

STEP3 ヘッドホンの文字を消し、支払額を確かめる

求めたいのはリュック側なので、ヘッドホンの y を消します。予定の式の両側を 1.2 倍します。

予定の式を 1.2 倍すると、1.2x＋1.2y＝10,800 です。

ここから実際の式を引きます。1.2y どうしが消え、x の係数は 1.2−0.9＝0.3 になります。

二式の差を取ると、0.3x＝1,200 です。

両側を 0.3 で割ります。

リュックの予定価格は x＝4,000 円です。

ここで選択肢を選ばず、問いへ戻ってください。4,000 円は予定の値段。実際には、その 10％に当たる 400 円だけ安く買えています。

リュックに払った額は、4,000−400＝3,600 円です。

もう一方の値段も文章に戻して確認します。

ヘッドホンは予定の 5,000 円から 6,000 円になり、支払額は 3,600＋6,000＝9,600 円で一致します。

選択肢を一行ずつ確かめる

条件を全て満たす金額を「確実にいえる」、条件と矛盾するものを「不適切」とします。条件だけでは決まらない場合の「真偽不明」は、今回はありません。

• 1. 2,700 円なら予定は 3,000 円。もう一品の支払額が 7,200 円となり、合計は 9,900 円です：不適切
• 2. 3,600 円なら予定は 4,000 円。もう一品に払う 6,000 円と合わせ、条件の合計になります：確実にいえる
• 3. 4,000 円は求めた予定価格であり、10％引きで払った金額ではありません：不適切
• 4. 4,500 円なら予定は 5,000 円。もう一品の支払額は 4,800 円となり、合計が 9,300 円に下がります：不適切
• 5. 6,000 円は、この買い物でヘッドホンに払った額です。問われた品物と違います：不適切

正解は 2 です。

本番の捨て時は、読み直しても割合の基準と合計を区別できず、式を作れないときです。一度次へ進み、残り時間で戻りましょう。正答を元の条件で確かめられたら先へ進めます。全肢の点検は理解の練習なので、本番に五回の計算を追加する必要はありません。

練習問題

今度はお店の側から考えます。原価と定価のどちらに割合を掛けるのかを読み、最後は利益の式へ移してください。

ある原価で仕入れた商品に、原価の2割の利益を見込んで定価をつけた。この商品を定価の1割引で販売したところ、商品1個あたりの利益は200円になった。この商品1個あたりの原価として、最も妥当なものはどれか。

1. 1,000円
2. 1,250円
3. 1,500円
4. 2,000円
5. 2,500円

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅲ類・問24

STEP1 原価と、二つの割合の基準を読む

一個の原価を x 円とします。定価を付けるときの 2 割は原価が基準、値引きの 1 割は定価が基準です。一個分の話なので、売値と原価の差がそのまま 200 円の利益になります。

STEP2 定価、売値、利益の順に式にする

2 割の利益を見込むので、定価は原価にその 20％ を加えます。

定価は 1.2x 円です。

そこから 1 割引きで売るため、定価の 90％ を受け取ります。

売値は 1.2x×0.9＝1.08x 円です。

売値から原価を引き、1.08x−x＝200 と立式します。

20％−10％＝10％ の利益とはできません。値引きの基準は、原価より高い定価へ変わっているからです。

STEP3 原価を求め、利益を確かめる

係数は 1.08−1＝0.08。両側をこれで割ります。

整理すると 0.08x＝200 となり、原価は 2,500 円です。

定価は 3,000 円、売値は 2,700 円で、原価との差は 200 円になります。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じです。各候補を原価として、売値と原価の差に当たる 8％ が 200 円になるかを見ます。

• 1. 原価 1,000 円では利益が 80 円にとどまります：不適切
• 2. 原価 1,250 円では利益が 100 円になり、条件に届きません：不適切
• 3. 原価 1,500 円では利益が 120 円となり、200 円と違います：不適切
• 4. 原価 2,000 円では利益が 160 円となり、40 円足りません：不適切
• 5. 原価 2,500 円では利益が 200 円となり、二段階の価格の条件も満たします：確実にいえる

正解は 5 です。

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復習では、二問とも「割合を掛ける前の値段」と「掛けた後の値段」を書き分けてください。買い手は代金を足し、お店は売上から仕入額を引く。この違いを言葉にできれば、個数が付いても式の骨格は同じです。次は「平均の公式」で、合計を使って未知の量を求める練習へ進みましょう。