工房「方程式の基礎知識――言葉を「等しい式」にする」1.0.0

方程式の基礎知識――言葉を「等しい式」にする

導入

解説に出てくる計算は追えるのに、自分では最初の式が書けない。方程式の文章題で、そんな経験はありませんか。今回は、まだ分からない数に名前を付け、文章が伝える関係を式にするところから始めます。警察・消防などの教養試験に向けて、数的推理の土台を作りたい方のための一講です。

使うのは足し算・引き算・掛け算・割り算と、一つの文字です。比較を読むお題と、合計を読む練習の二問で、立式から答えの点検まで進みましょう。どちらもこの教材のために作ったオリジナル問題です。

お題

すぐに計算を始めず、まず「何をした後に、何をするのか」を追ってみてください。式が書けた方も、かっこを付けた理由まで説明できるか試してみましょう。

ある数に7を加えた値を3倍すると、もとの数の5倍に9を加えた値と等しくなる。もとの数はいくらか。

1. 4
2. 6
3. 8
4. 12
5. 15

出典：工房オリジナル（方程式の基礎知識・お題）

考え方

ポイント 合計の指定か二つの量の比較を見つけ、等しくなる二つの式を結ぶことです。

方程式は、まだ分からない数を文字で表し、その値を決めるための等式です。「＝」は、左と右が同じ値だという印。計算の続きを書くための区切りではありません。まず合計の記述を探し、なければ量どうしを比べている箇所を探します。どちらも見当たらないときは、「もしも」「仮に」と仮定を置いた記述を探してください。仮定は言葉で書かれていないこともあるので、文脈から読み取ります。

STEP1 何を文字にするかを決め、言葉を式にする

求めたい数を x と書きます。読み方は「エックス」。答えがまだ不明な間だけ使う名前だと思ってください。同じ問題の途中で、x の意味を別の数へ変えないことが大切です。

ここで短い読み替えの練習です。「x に 4 を足す」なら x＋4。「x の 4 倍」なら 4×x で、掛け算の印を省いて 4x とも書きます。足すのか、同じ数をいくつ分集めるのか。ここを区別しましょう。

「4 を加えてから 2 倍する」では、先にできた x＋4 をひとまとめにします。式は 2(x＋4) です。反対に「2 倍してから 4 を加える」なら 2x＋4。x を 1 として試すと、前者は 10、後者は 6 です。操作の順が変わると結果も変わるので、かっこは飾りではありません。

STEP2 合計や比較を読み、等しい式を確かめる

合計が書いてあれば、足し合わせた式とその合計を「＝」で結びます。たとえば二つの量の合計が分かるなら、二つを別々に求めてから足す必要はありません。片方を x で表し、もう片方も x を使って書ければ、そのまま合計の式ができます。

合計がなければ比較を見ます。「同じ値」なら、その二つを等号でつなぎます。「A は B より 4 大きい」なら A＝B＋4 です。小さい側の B に 4 を足せば、A と同じになるからですね。「より大きい」を見て、A にも B にも何となく足してはいけません。

いったん立てた式を、左から言葉へ戻して読んでみてください。問題文と違う順で計算していたら、解く前に直せます。式を読む時間も、立派な解答の一部です。

STEP3 両側に同じ計算をし、元の文で答えを確かめる

等しい二つの量には、同じ数を足したり引いたりしても等号が保たれます。同じゼロでない数で割ることもできます。この性質を使って、最後に x だけを残します。

別の小例で確かめると、2x＋5＝19 なら、両側から 5 を引いて 2x＝14。次に両側を 2 で割り、x＝7 となります。「反対側へ移すと符号が変わる」という移項の決まりも、両側から同じ数を引く操作などを短く書いたものです。急いで暗記するより、左右に何をしたかを一度追いましょう。

答えが出たら、元の文章に数字を戻します。自分の式へ戻すだけでは、最初の読み違いが残るかもしれません。人数なら整数か、値段なら単位は円か、といった問いとの整合もここで確認します。

解説

STEP1 もとの数を文字にし、操作を式にする

この問題で x にするのは、7 を足す前の「もとの数」です。最初の操作では x＋7 を作り、その全体を 3 倍します。したがって 3(x＋7)。先に 3 倍する 3x＋7 と取り違えないでください。

もう一方は、もとの数を 5 倍してから 9 を足すので 5x＋9 です。ここまで、まだ答えを探さなくて大丈夫。日本語に対応する二つの式ができれば準備完了です。

STEP2 同じ値になる二つの式を確かめる

合計の指定はありません。今回は二通りの計算結果を比べ、「等しくなる」と言っています。そこで次のように結びます。

条件を式にすると、3(x＋7)＝5x＋9 です。

左は「7 を足してから 3 倍」、右は「5 倍してから 9 を足す」。問題文と同じ順で読めていますね。二つの結果が等しいという関係まで書けました！

STEP3 かっこを開いて整理し、答えを確かめる

3(x＋7) は、x が三つと 7 が三つです。3 をかっこの中の両方に掛けます。

かっこを開くと、3x＋21＝5x＋9 になります。

両側から 3x を引いて、文字を右へまとめます。左右のどちらへ集めても構いませんが、x の個数が多い側に残すと、文字の個数を正のまま進められます。

両側から 3x を引くと、21＝2x＋9 です。

次に両側から 9 を引きます。

両側から 9 を引くと、12＝2x です。

等号の左右を入れ替えても意味は同じなので、2x＝12 と読めます。両側を 2 で割りましょう。

もとの数は 6 と求まります。

文章へ戻して点検します。6 に 7 を足してから 3 倍すると 39。6 を 5 倍してから 9 を足しても 39 です。

もとの数を 6 とすると、二通りの計算結果はどちらも 39 になります。

選択肢を一行ずつ確かめる

ここでは各候補を元の文章へ戻します。条件と一致するものは「確実にいえる」、食い違うものは「不適切」とします。条件だけでは決まらない場合に使う「真偽不明」は、今回の二問には残りません。

• 1. 4 なら、7 を足して 3 倍した値は 33、5 倍して 9 を足した値は 29 で一致しません：不適切
• 2. 6 なら、それぞれ 39 と 39 になり、文章の等しさを満たします：確実にいえる
• 3. 8 なら、二つの結果が 45 と 49 に分かれてしまいます：不適切
• 4. 12 なら、左の計算は 57、右の計算は 69 になってしまいます：不適切
• 5. 15 を入れると 66 と 84 になり、同じ値になりません：不適切

正解は 2 です。

本番の捨て時は、文章を読み直しても「何と何が等しいか」を説明できず、式の候補ばかり増えるときです。一度次の設問へ移り、残り時間で戻りましょう。式が立ち、答えの確認までできたら先へ進めます。全肢の計算は読み違いを見つける練習用で、本番で毎回五つとも調べる必要はありません。

練習問題

次は合計を使います。お題の答えや式を持ち込まず、まず「B を x とすると、A はどう書けるか」を考えてみてください。三つの STEP は同じです。

二つの数A、Bの和は46であり、AはBの3倍より6小さい。このとき、Bはいくらか。

1. 10
2. 11
3. 12
4. 13
5. 14

出典：工房オリジナル（方程式の基礎知識・練習）

STEP1 B を文字にし、A も同じ文字で表現する

B を x と置きます。別の文字を増やす前に、A の説明を読みましょう。

A は B の 3 倍から 6 を引いた数なので、3x−6 と表せます。

3(x−6) ではありません。「3 倍より 6 小さい」は、3 倍した値から 6 を引く指定です。

STEP2 二つを足し、合計の式を確かめる

「和」は足し合わせた結果です。A と B をともに入れます。

A と B を足すと、(3x−6)＋x＝46 です。

A の 3x−6 だけを 46 と結ばないこと。B の x も合計の一部です。

STEP3 文字をまとめ、二つの条件を確かめる

左側の文字をまとめて両側に 6 を足すと、4x＝52 になります。

両側を 4 で割ります。

B は 13、A は 33 です。

33＋13＝46 で合計が合い、13×3−6＝33 で比較の条件も満たします。

今回は B の値を選びます。A まで計算した後に、何を聞かれていたかを見失わないでくださいね。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じです。各候補を B の値とみなし、A は B の 3 倍より 6 小さい数として求め、和が 46 になるかを見ます。

• 1. B が 10 なら A は 24 となり、合計は 34 です：不適切
• 2. B が 11 なら A は 27 となり、合計は 38 です：不適切
• 3. B が 12 なら A は 30 となり、合計は 42 です：不適切
• 4. B が 13 なら A は 33 で、合計 46 と「3 倍より 6 小さい」をともに満たします：確実にいえる
• 5. B が 14 なら A は 36 となり、合計は 50 です：不適切

正解は 4 です。

次へ

復習では答えを隠し、二問とも「x の意味」「等号で結んだ理由」「元の文での確かめ方」を声に出して説明してみてください。計算が速くなる前でも、この三つが言えれば立式の土台はできています。次は「比の公式」で、同じ割合のまとまりを一つの文字で扱う方法へ進みましょう。