工房「「何の何％か」を読み、割合を式にする」1.0.0

「何の何％か」を読み、割合を式にする

導入

割合の数字は拾えるのに、何に掛ければよいか分からない。そんなときは、計算の前に「何を基準にした割合か」を確かめましょう。この一講では、警察・消防などの教養試験に向けて、割合の文章を方程式へ移す練習をします。百分率でも分数でも、まず読む場所は同じです。

使うのは割合の掛け算と、一次方程式の整理です。東京消防庁の二問で、年度が変わる場面と、残りが次の基準になる場面を扱います。どちらも、割合のそばに量の名前を書き添えるところから始めましょう。

お題

解説を隠して一度読んでみてください。40％ と 50％ は、同じ人数を基準にしているでしょうか。「今年度」を読み落とさないことも大切です。

昨年度、企業Aでは職員全体の40%を営業職員が占めていた。今年度、企業Aに新たに営業職員として8人、それ以外の職員2人が入社したところ、職員全体の50%が営業職員になった。今年度の企業Aの職員の人数として、最も妥当なものはどれか。ただし、昨年度から今年度にかけて退職した職員はいないものとする。

1. 30人
2. 40人
3. 50人
4. 60人
5. 70人

出典：東京消防庁・令和7年度・Ⅲ類2回・問23

考え方

ポイント 割合ごとに基準となる量を特定し、その量に割合を掛けて求めたい部分を表すことです。

割合は、比べる量が基準の量の何倍かを表します。たとえば 80 枚のうち 20 枚なら、20÷80＝0.25。基準の 80 枚を 1 と見たときの 0.25 倍、つまり 25％ です。％は「100 分のいくつ」という意味なので、25％ を計算に使うときは 25÷100＝0.25 に直します。

STEP1 割合の基準と、求めたい部分を読む

「袋の中のカードの 25％ が青い」とあれば、基準は袋に入っているカード全部、取り出したい部分は青いカードです。計算する前に、この二つを言葉で分けてください。ここが決まれば、式の置き場所も決まります。

基準を 1 と考えるのは、実物が 1 枚しかないという意味ではありません。袋に 80 枚あれば、80 枚のまとまりを 1 と見ています。青いカードが 20 枚なら、その 20 枚はまとまりの四分の一です。

同じ文章の中でも、基準は変わります。「全員の何％」と「参加者の何％」では、掛ける相手が違います。割合の数字だけに丸を付けるより、「全員」「参加者」のような名前と一緒に囲むほうが、読み違いを防げます。

STEP2 基準の量に割合を掛け、部分を式にする

青いカードの例なら、80×0.25＝20 と書けます。式の形はいつも 全体×割合＝部分 で、ここでの全体がいまの基準です。「A の a％は B」なら A×a/100＝B と書き写せます。逆に袋の総枚数が不明なら、x 枚と名前を付けて x×0.25＝20。掛ける式を先に決めれば、「掛け算か割り算か」で迷わずに済みます。

百分率を小数にするところだけは、別に確かめましょう。40％ は 0.4、4％ は 0.04 です。歩合の「a 割」は a/10 なので、「4 割」は 0.4 で 40％ と同じです。分数で指定されているときは、その分数をそのまま掛けられます。

残りを求めるなら、使った割合を 1 から引きます。たとえば全体の五分の二を使えば、残るのは五分の三。ただし「残りの五分の二」とあれば、その時点で残っている量が新しい基準です。最初の全体へ、いつまでも同じように掛け続けないでくださいね。

STEP3 方程式を解き、問いの量を確かめる

同じ量を二通りに表せたら、その式どうしを等号で結びます。両側に同じ計算をして文字の値を求め、最後に元の文へ数字を戻してください。基準と部分の組が合っているかまで見ると、立式の間違いも見つけられます。

たとえば 0.25x＝20 なら、両側を 0.25 で割って x＝80 です。20 枚は全体の一部なので、求めた全体が 20 枚より多いことにも納得できます。値が出た後には、「x は何だったか」「問われているのも x か」を確認しましょう。

解説

STEP1 年度ごとに基準となる人数を読む

昨年度の職員全体を x 人と置きます。40％ の基準は、この x 人です。一方、50％ の基準は入社後の今年度の人数。二つの割合を同じ x に掛けてはいけません。

営業職員が 8 人、それ以外が 2 人増え、退職者はいません。この条件から、今年度の全体は 10 人増えています。「営業だけの増加」と「全体の増加」を分けるところが、この問題の入口です。

今年度の職員全体は x＋10 人です。

STEP2 今年度の営業職員を二通りの式にする

まず昨年度の営業職員は、昨年度の全体に 0.4 を掛けます。

昨年度の営業職員は 0.4x 人です。

ここに、営業職員として入社した 8 人だけを加えます。

今年度の営業職員は 0.4x＋8 人です。

別の条件からも、今年度の営業職員を表せます。今度は今年度の全体の半分です。

今年度の営業職員は 0.5(x＋10) 人とも表せます。

0.5x＋10 ではありません。10 人増えた後の全体に 0.5 を掛けるので、x＋10 をかっこに入れます。二つの式が指しているのは、どちらも「今年度の営業職員」ですね。

同じ人数を等号で結ぶと、0.4x＋8＝0.5(x＋10) です。

STEP3 式を整理し、今年度の人数を確かめる

右のかっこを開くと 0.5x＋5。両側から 0.4x と 5 を引き、残った式を 0.1 で割ります。

整理すると 3＝0.1x となり、昨年度の全体は 30 人と求まります。

ここで選択肢 1 を選びたくなりますが、一呼吸置きましょう。求めたのは昨年度の人数です。

今年度の職員数は 30＋10＝40 人です。

元の文でも確認します。昨年度は全体 30 人の 40％ なので営業職員が 12 人、それ以外は 18 人。今年度はそれぞれ 8 人と 2 人を加えます。

今年度は営業職員が 20 人、それ以外も 20 人となり、全体 40 人の半分が営業職員です。

選択肢を一行ずつ確かめる

候補を今年度の全体とみなし、10 人引いて昨年度へ戻します。昨年度の 40％ に 8 人を足した値が、今年度の半分と一致すれば「確実にいえる」、矛盾すれば「不適切」です。条件から決められない場合の「真偽不明」は、今回は残りません。

• 1. 30 人なら昨年度は 20 人。営業職員は 16 人になり、今年度の半分の 15 人と合いません：不適切
• 2. 40 人なら昨年度は 30 人。営業職員は 20 人で、今年度の半分と一致します：確実にいえる
• 3. 50 人なら昨年度は 40 人。営業職員は 24 人となり、半分の 25 人には足りません：不適切
• 4. 60 人なら昨年度は 50 人。営業職員は 28 人で、半分の 30 人になりません：不適切
• 5. 70 人なら昨年度は 60 人。営業職員は 32 人となり、半分の 35 人と違います：不適切

正解は 2 です。

本番の捨て時は、読み直しても割合の基準を決められず、式を書いては消しているときです。一度次の設問へ進み、残り時間で戻りましょう。正答を元の条件で確かめられたら先へ進めます。全肢の点検は理解のための練習であり、本番で毎回五つとも計算する必要はありません。

練習問題

今度は、残った量が次の基準になります。二日目の分数を何に掛けるか、自分の言葉で説明してから式を書いてみてください。

ある本を3日かけて読むことにした。初日には全ページの28%を読み、2日目には残りのページの8分の5を読んだところ、残りは54ページになった。この本のページ数として、最も妥当なものはどれか。

1. 160ページ
2. 180ページ
3. 200ページ
4. 220ページ
5. 240ページ

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅰ類2回・問22

STEP1 初日と二日目の基準を読む

本の総ページ数を x とします。初日の基準は全ページですが、二日目の基準は初日を読み終えた後の残りです。28％ と八分の五を、そのまま足すことはできません。

STEP2 残ったページ数を順に式にする

初日に読んだ分を引くと、100％−28％＝72％ が残ります。

初日の終わりに残っているのは 0.72x ページです。

二日目に読むのは、この残りの八分の五（5/8）です。読み終えて残るのは、1−5/8＝3/8 の分になります。

二日目の終わりの残りは 0.72x×3/8 ページです。

これが 54 ページなので、0.27x＝54 と書けます。

0.72×3/8＝0.27 です。掛けるたびに基準が次へ移り、最後の残りを全ページの割合で表せました。

STEP3 総ページ数を求め、読んだ量を確かめる

両側を 0.27 で割ると、総ページ数は 200 です。

初日に 56 ページ読み、残る 144 ページのうち二日目に 90 ページ読むと、54 ページが残ります。

56 は 200 の 28％、90 は 144 の八分の五です。元の文章でも、割合の相手が切り替わっていることを確認できますね。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じです。各候補の 27％ を計算し、二日目後の残りが 54 ページになるかを調べます。

• 1. 160 ページでは残りが 43.2 ページになり、54 ページと合いません：不適切
• 2. 180 ページでは残りが 48.6 ページとなり、条件を満たしません：不適切
• 3. 200 ページでは残りが 54 ページとなり、二日間の条件と一致します：確実にいえる
• 4. 220 ページでは残りが 59.4 ページで、指定より多くなります：不適切
• 5. 240 ページでは残りが 64.8 ページとなり、54 ページを超えます：不適切

正解は 3 です。

次へ

復習では、二問の割合にそれぞれ基準の名前を添えてください。「昨年度の全体」「今年度の全体」「初日後の残り」を区別できれば、数字が変わっても同じ手順を使えます。次は「買い物計算」で、個数と単価、割増・割引を組み合わせた式へ進みましょう。