工房「一人を目印にして解く、円卓の位置関係」1.1.0

一人を目印にして解く、円卓の位置関係

導入

丸いテーブルに名前を書いているうちに、右と左が逆になってしまう。円卓の問題で困るのは、人数だけでなく「誰の向きで見るか」が動くことです。この一講では、一人の席を目印にし、正面や隣の条件を順に載せる解き方を練習します。円順列の計算公式は使いません。

お題は八人の過去問なので、初めは少し手応えがあります。途中の図で一度ずつ手を止め、最後は六人の練習で同じ操作を確かめましょう。

お題

五つの条件を読んだら、正面の関係と右隣の関係に共通して出てくる B を探してください。

A~Hの8人が、円卓の周囲を一周するように、中心方向を見て等間隔に座っている。
次のことがわかっているとき、確実にいえることとして、最も妥当なものはどれか。
・AはHの真正面に座っている。
・BはGの右隣に座っている。
・CとFは間に1人挟んで座っている。
・DはBの真正面に座っている。
・Eの隣にHは座っていない。

1. GはAの隣に座っている。
2. HはFの隣に座っている。
3. CはHの隣に座っている。
4. FはDの隣に座っている。
5. AはEの隣に座っている。

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅰ類第2回・問14

考え方

ポイント 円卓では、正面や左右の条件に繰り返し出てくる人を目印にすると、まとめて決まる席が見つかります。

今回は全員が内側を向き、一席に一人ずつ座ります。「右隣」は、その人が中心を見たときの右。紙の右側という意味ではありません。席を上から時計回りに番号で呼ぶことにし、最後の番号から最初へもつながると押さえます。

まず、円卓で使う三つのコツを箱にまとめます。誰から始めるか、誰が一緒に決まるか、どこで書き出すか。この順で読むと、空いた席を手当たり次第に埋めずに済みます。

STEP1 一人を目印にし、向きと正面を確かめる

席に方角や入口などの指定がなければ、全員の並びをそっくり回しても、隣や正面の相手は変わりません。そこで一人を上の席に置き、紙の向きをそろえます。「その人が北にいる」という新しい条件を足したわけではないのです。

四人の記号の例で、X を上の席1に置きましょう。Y が向かいなら席3です。

各席には、そこに入れる人が示されます。候補が多い席では「7 人？」のように人数だけを表示します。一席に全員が座るわけではありません。こい枠と名前は確定、？は未確定です。別々の席の候補から勝手に一人ずつ選ぶと、条件に合わない並びを作ることもあります。

STEP2 正面・隣・間隔を重ね、残った候補を確かめる

ここで「Z は X の右隣」を追加します。上にいる X は下を向いているので、X の右は紙の左。席4に Z が入り、空いた席2は W です。

内側を向く人の右隣は、その人から反時計回りに一席、左隣は時計回りに一席です。下に座る人なら、本人の右と紙の右が一致します。「いつでも紙の左右と逆」とは覚えないでくださいね。並びを鏡に映すように裏返すと左右が入れ替わるので、単に回す操作と区別します。

「間に一人」なら、一人分の席を飛ばして次の席です。方向の指定がなければ、両方向を試します。空いている席にうまく入らなければ、その仮置きは外します。最後に複数の並びが残っても、共通する関係があれば答えを選べます。

時短のコツは、候補が少なくなった時点で書き出しに切り替えることです。 二つか三つまで減ったら、さらに頭の中で絞ろうとするより、残る場合を紙に並べて検査しましょう。使える席はもう限られているので、一つずつ試しても作業は短く済みます。

解説

STEP1 B を目印にして三人の席を確かめる

条件は文章の上から使う必要はありません。今回は B の正面と、G との左右を先に使います。

基準を B に決め、席1に置きます。

八席では、一周の半分に当たる四席分を進むと正面です。上から四つ目の条件を使いましょう。

B の正面にいる D は、席5に決まります。

次は「B は G の右隣」。G の席から反時計回りに一席進んで B に着くようにします。

B が G の右隣になるのは、G が席2にいるときです。

「G が B の右隣」と逆に読んでいないか、ここで確かめてください。三人の席が決まったので、残りは五席です。

STEP2 空席に正面と間隔の条件を重ねる

今度は A と H が向かい合う条件です。席1と席5は使用済み。席2と席6の組も、席2に G がいるので使えません。

A と H が使える向かい合う席は、席3と席7、または席4と席8です。

次に、C と F の間を一人分空けます。A・H を席4・8へ置いたと仮定すると、残るのは席3・6・7。席3と席6は三席離れ、席6と席7は隣、席3と席7は向かい合わせなので、一席飛ばしになる組がありません。したがって A・H は席3・7を使い、C・F・E には席4・6・8が残ります。

C と F の席は、席4と席6の組か、席6と席8の組に絞れます。

席4と席8は向かい合ってしまうので除きます。二つの組のどちらでも C と F の交換は可能で、まだ名前を一つに決めません。

最後は E と H が隣り合わない条件です。場合分けは、残った E の席で二つに分けると短く済みます。

ここが、さきほどの書き出しへ切り替える場面です。E の候補は席4・8だけなので、二つとも調べれば漏れがありません。

• E が席4なら、H は隣の席3に置けず席7へ。A は席3となり、E と隣り合います。
• E が席8なら、H は隣の席7に置けず席3へ。A は席7となり、この場合も E と隣り合います。

五つの条件を重ねると、A と E はどの場合も隣り合います。

図の下には、条件を使った順も示しています。「残り」は一席に入る人数ではなく、全員を座らせる並びの数です。この数を自分で計算する必要はありません。条件を足すたびに減っていく様子だけ見てください。最後の段では C・F の間隔と E・H の非隣接を続けて使っています。席ごとの候補が変わらなくても、その組合せは減る、と読みましょう。

ここまでで答えを選べます！　図に？が残るのは失敗ではありません。二つの場合それぞれで C と F を交換できるため、B を上にそろえた並びは四通りあります。

選択肢を一行ずつ確かめる

以下は復習用です。席番号はすべて B を席1にした図で読みます。

「確実にいえる」は全ての成立配置で正しいこと、「真偽不明」は成立する配置と成立しない配置が両方残ること、「不適切」はどの成立配置でも成り立たないことを表します。

• 1. G は席2で、A が席3なら隣ですが、席7の場合は離れます：真偽不明
• 2. H が席7、F が席6なら隣ですが、H が席3、F が席6の並びも残ります：真偽不明
• 3. H が席7、C が席6なら隣ですが、H が席3、C が席6の並びも残ります：真偽不明
• 4. D は席5で、F が席6なら隣ですが、F が席8の場合もあります：真偽不明
• 5. A と E が使うのは席3・4か席7・8で、両方とも隣です：確実にいえる

正解は 5 です。

本番では A と E の関係が決まったところで次へ進めます。捨て時は、一人を固定しても仮置きが次々に増え、使っていない条件でも絞れなくなったとき。全配置の清書に時間を使わず、いったん後の問題へ進みましょう。

別解：解答が求めるものから逆に決める

選択肢 5 を逆から試すなら、「A と E が離れる並びは作れるか」と考えます。途中で得た A・H の席3・7と E の席4・8を使うと、A と E を離す組は3・8か7・4ですが、どちらも E が H の隣に来てしまいます。そこで全条件を重ねた図へ戻れば、席ごとの候補を自由に組み合わせられない理由も見えます。テーブルを何回まわすかを問う円卓では、この向きが主役になります。まず、その人を置くと連鎖して他の席も決まる人から固定する。残った人は条件では決まらないので、「何回で目的の皿の前に来るか」という設問の到達条件のほうから逆に置いてみる。あとは、その仮置きが全条件を満たすか、より少ない回数では不可能かまで確かめて、初めて答えになります。

練習問題

左右を読む練習です。P を目印にして、同じ二段階で解いてみてください。

今度は席を二つ減らします。正面を半周先として読む手順は同じですが、進む席数も四つから三つに変わります。

P、Q、R、S、T、Uの6人が、円形のテーブルを囲み、内側を向いて等間隔に座っている。次のア〜ウのことが分かっている。確実にいえるのはどれか。
アPとQは向かい合っている。
イRはPの右隣にいる。
ウSはQの左隣にいる。

1. TはPと隣り合う。
2. UはQと隣り合う。
3. RはSと隣り合う。
4. TとUは向かい合う。
5. RとQは向かい合う。

出典：Educare オリジナル（円卓型・練習）

STEP1 P と正面の Q の席を確かめる

P を席1に置き、席の番号を時計回りに振ります。

六席での正面は三席分先です。

アを使うと、Q は席4に決まります。

STEP2 本人の左右を読み、残った席を確かめる

上の P は下を向いています。イの右隣は、P から反時計回りに一席です。

イから、R が座るのは席6です。

ウの Q は下側にいて、上を向きます。Q の左隣は、Q から時計回りに一席。P と同じ向きで読まないのが肝心です。

ウまで使うと S は席5となり、R と S が隣り合います。

T と U は席2と席3を入れ替えられます。

図の下で、P を固定し、正面に Q、P の右隣に R、Q の左隣に S と置いた順をたどり直しましょう。残る二通りは T と U の交換だけなので、R と S の関係は変わりません。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じで、「確実にいえる」は全配置で正しいこと、「真偽不明」は成否の両方が残ること、「不適切」は全配置で成り立たないことを表します。

• 1. T が席2なら P と隣ですが、席3の場合は離れます：真偽不明
• 2. U が席3なら Q と隣ですが、席2の場合は離れます：真偽不明
• 3. R は席6、S は席5で、二人の間に席は入りません：確実にいえる
• 4. T と U は残った席2・3に入り、向かい合いません：不適切
• 5. R の席6と Q の席4の間には席5があり、正面の関係ではありません：不適切

正解は 3 です。

本番は R と S の席が決まれば解答できます。左右で手が止まったら、本人から中心へ向く線を紙に書いて確認し、それでも迷うなら後回しにするのが捨て時です。

次へ

復習では、各図の？を見て「まだ決まらない人」と「もう決まった二人の関係」を分けて説明してみましょう。次は、入口や東西南北が指定された部屋・座席の配置へ。目印を自由に動かせる今回との違いを意識すると、条件の読み落としが減ります。