工房「順位が動いたら、途中とゴールを二段で追う」1.1.0

順位が動いたら、途中とゴールを二段で追う

導入

「二つ上がった」「三つ下がった」を頭の中だけで追うと、誰が何位だったか分からなくなりますよね。順位変動では、途中とゴールの記録を分けるところから始めましょう。今回は、順序関係の基本を学んだ方に向けた一講です。二段の順位欄を使い、動ける範囲から答えを絞る練習をします。

お題は六人が登場する特別区の過去問です。少し条件が多いので、一人ずつ確かめます。続く練習は条件を三つに絞りました。まずは「上がると数字は小さくなる」を、手元で確かめてください。

お題

聞かれているのは、ゴールの先頭です。途中の先頭を見つけただけで答えにしないよう、設問の時点に印を付けてから読みましょう。

区民マラソンにA〜Fの6人の選手が参加した。ある時点において、DはCより上位で、かつ、AとBの間にいて、AはCとEの間にいて、Fに次いでEがいた。この時点での順位とゴールでの着順との比較について、次のア〜カのことが分かっているとき、ゴールでの着順が1位の選手は誰か。
アAは、2つ順位を上げた。
イBは、3つ順位を下げた。
ウCは、1つ順位を上げた。
エDは、同じ順位のままだった。
オEは、2つ順位を下げた。
カFは、2つ順位を上げた。

1. A
2. C
3. D
4. E
5. F

出典：特別区・令和5年度・Ⅰ類・問13

考え方

ポイント 順位がいくつ動いたかを見たら、動く前と後の両方で人数の範囲に収まるかを確かめます。

まず人数を減らした例で確かめます。同順位がなければ、四人のレースには 1 位から 4 位まで、一人ずつ入ります。順位を二つ上げるとは、たとえば 3 位から 1 位になること。順位の数字を二つ減らします。二つ下げるなら、逆に二つ足します。

STEP1 時点を二段に分け、動く向きを読む

上段を「途中」、下段を「ゴール」にします。どちらの段も、左から 1 位、2 位と並べます。途中の並びは上段に残し、変化後の順位を下段に記録してください。上段を消して書き換えると、比較する元の記録がなくなってしまいます。

図の上下は時点、左右は順位です。図には三つ目の表もあり、こちらは一人ずつの変動（ゴールの順位から途中の順位を引いた値）を並べています。←が付けば上がると決まった人、→なら下がると決まった人、＝なら動かないと決まった人。うすい色はまだ候補が残る変動、灰色はありえない変動です。「順位が上がる」から図でも上へ動かす、と考えないこと。左の小さい数字へ進みます。また、結果として二つ上がったという情報から、途中で誰をどの順に抜いたかまでは分かりません。

ここまでの型は、レジュメが順位変動とすれ違いでまとめている見方と同じです。次の箱に、二段の表と、すれ違いで使う三つの見方を並べておきました。

追越しの人数で書かれた条件も、同じ二段で扱えます。ある区間で抜かれるのが 1 回、抜くのも 1 回なら、差は 0。区間の始めと終わりの順位は同じです。抜かれるのが 1 回で、誰も抜かなければ、順位は一つ下がります。区間内の追越しを漏れなく数え、抜かれた分から、抜いた分を引く。この差を元の順位に足せば、後の順位になります。たとえば 3 人に抜かれ、2 人を抜けば、差の 1 だけ数字が増えます。差が負なら数字は減り、順位は上がるのです。同じ相手と抜き返す場合も、その都度数えます。

STEP2 入れる範囲と埋まった順位を確かめる

順位を一つに絞れる条件から先に使い、動く向きだけの条件は後へ回します。 条件の掲載順にこだわらなくて大丈夫です。まず決まるマスを埋め、残った人が動ける範囲を狭くしましょう。

四人で走り、X が二つ下がる例を考えます。X が途中で 3 位ならゴールは 5 位になり、四人の枠からはみ出します。途中で入れるのは 1 位か 2 位、ゴールでは 3 位か 4 位だけです。

さらにゴールの 4 位を Y が使うなら、X はそこへ入れません。空いた 3 位へ戻って、途中は 1 位と決まります。範囲外と同順位を外す。この二つが、二段を埋める手がかりです。条件にない人を「変動なし」にすることもできません。

覚える合言葉は「二段に残す、決まる人から」です。順位の数字を計算した後も、人数の枠に収まるか、同じマスを別の人が使っていないかを確かめてください。

解説

たどる順を先に確認します。①カから F の入れる範囲を調べる、②オと隣接関係で途中の F・E を 3 位・4 位に固定する、③冒頭の残りの前後関係を埋める、④ア〜エでゴールの段を完成させる。この順で、下の図を一枚ずつ追いましょう。

STEP1 途中の関係を描き、カの動く向きを読む

まず冒頭の前後関係を上段へ整理します。「間にいる」は、両端のどちらが上位かも間に何人いるかも決めず、両端に隣接するとは限りません。一方、「次いで」はすぐ後ろで、間に誰もいません。

途中では F のすぐ後ろが E です。

六つの変動を頭から全部計算する前に、続いて走る F・E に注目しましょう。カによると F は二つ上がります。途中が 1 位や 2 位では、二つ上がった先の順位がありません。

カを使うと、途中の F は 3 位から 6 位の範囲に限られます。

この範囲はカだけで分かる上限・下限です。ここへ冒頭の前後関係を重ねます。F は 3 位以下で、そのすぐ後ろが E ですから、E は 4 位以下。1 位の候補から二人が外れます。D は A と B の間ですから 1 位にはなれません。C は D より下位なので 1 位になれず、2 位でもありません（2 位なら D が 1 位になってしまいます）。A も C と E の間ですから 1 位ではなく、2 位なら C が 1 位になるため置けません。残るのは B だけ。B が 1 位、次の 2 位は D に決まり、F の候補は 3 位と 5 位に絞れます。次の STEP で残りの順位と合わせて確かめましょう。

STEP2 オで範囲を絞り、両段の順位を確かめる

次はオ。E は二つ下がるので、途中で 5 位や 6 位にいることはできません。途中の E は遅くても 4 位。その直前にいる F は早くても 3 位です。二人が続いて入れる場所は、F が 3 位、E が 4 位しかありません。

残りの途中順位も確かめましょう。空いているのは 1・2・5・6 位です。A は C と E の間なので、E の 4 位を境に二通りを考えます。A が E より上位なら、C が 1 位、A が 2 位。しかし C より上位に D を置けず、これは使えません。したがって E より下位に A、さらに C が続き、A は 5 位、C は 6 位です。

最後に B と D が 1 位・2 位へ入ります。D は A と B の間なので、B が 1 位、D が 2 位になります。ここでは B と A の間に D・F・E の三人がいて、「間にいる」が隣接を表さないことも確かめられます。

オまで重ねると、途中は B・D・F・E・A・C の順で、ゴールの F は 1 位、E は 6 位です。

ここで先頭が見つかりました！　F は途中の 3 位から二つ上げて、ゴールでは 1 位です。残る条件も矛盾しないか、一人ずつ下段へ移しましょう。

アを加えると、A のゴール順位は 3 位です。

5 位から二つ上げるので、5 − 2 ＝ 3。F と同じだけ上がっても、出発する順位が違います。

イを加えると、B のゴール順位は 4 位です。

1 位から三つ下がるので、1 ＋ 3 ＝ 4。途中で先頭だった B が答えにならない理由は、この変化です。

ウを加えると、C のゴール順位は 5 位です。

6 位から一つ上げれば 5 位です。残る 2 位には D が入るため、この段階でも下段は埋まります。

エは D の順位が変わらないという条件です。途中の D は 2 位でしたから、下段の空きから決めた順位と一致します。

全条件を満たすゴールの順は、F・D・A・B・C・E です。

選択肢を一行ずつ確かめる

人物名だけの肢も、「その人がゴールで 1 位」と読んで判定します。条件から必ず成り立てば「確実にいえる」、反すれば「不適切」、両方の可能性が残れば「真偽不明」です。

• 1. A は二つ上がっても 3 位です：不適切
• 2. C は 6 位から 5 位になりました：不適切
• 3. D は途中もゴールも 2 位です：不適切
• 4. E は 4 位から 6 位へ下がります：不適切
• 5. F は 3 位から二つ上がって 1 位です：確実にいえる

正解は 5 です。

本番では F を絞れたら、残る変動が矛盾しないか短く確認して次へ進めます。捨て時は、二段に整理しても候補が減らず、仮置きの枝が増え続けるとき。いったん離れ、残り時間で戻りましょう。

別解：ゴールの段から逆に埋める

途中の順位をまだ決めず、ゴールで F と E が何位離れるかを考えます。途中では E が F の一つ後ろで、そこから E は二つ下がり、F は二つ上がりますから、二人の順位差は 1 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 5 です。六人の枠の中で五つ離れる組は 1 位と 6 位だけなので、ゴールは F が 1 位、E が 6 位と決まります。

そこから上段へ戻すと、F は 1 ＋ 2 ＝ 3 位、E は 6 − 2 ＝ 4 位。あとは主解法で確かめた冒頭の前後関係を当てはめ、残る途中順位を埋めてからア〜エを使えば、同じ結論になります。D も途中で 2 位と分かった後に、下段の 2 位へ置けます。「変動なし」という条件だけで D の順位を決めないでくださいね。

練習問題

人数を六人から五人へ減らし、順位の変化が指定される人も二人に絞ります。

今度は途中の順が全部分かっています。同じ二段を使い、ゴールの空欄を決めすぎない練習です。

A〜Eの5人がロードレースを走った。どちらの時点でも同順位はない。途中の観測地点とゴールについて、次のア〜ウのことが分かっている。確実にいえるのはどれか。
ア観測地点では、先頭からA、B、C、D、Eの順だった。
イAは観測地点からゴールまでに順位を3つ下げた。
ウEは観測地点からゴールまでに順位を3つ上げた。

1.ゴールの時点で、Eは1位だった。
2.ゴールの時点で、Aは2位だった。
3.ゴールの時点で、Eは2位だった。
4.ゴールの時点で、Bは1位だった。
5.ゴールの時点で、Dは3位だった。

出典：Educare オリジナル（順位変動・練習）

STEP1 途中とゴールを分けて描く

アにより、途中の順位は A が 1 位、B が 2 位、C が 3 位、D が 4 位、E が 5 位です。

STEP2 変動を当てはめ、残る順位を確かめる

イまで使うと、ゴールの A は 4 位に決まります。

1 位から三つ下がるので、1 ＋ 3 ＝ 4 です。

ウまで使うと E は 2 位で、残る B・C・D は 1 位・3 位・5 位に入ります。

E は 5 − 3 ＝ 2 位。ここで B・C・D を途中と同じ順に並べないでください。この三人の変化は指定されていません。

たとえばゴールが B・E・D・A・C でも、C・E・B・A・D でも、三条件を守れます。前者では B が 1 位で D が 3 位、後者ではどちらも違います。空欄が残っても、E の 2 位は動きません。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じ意味です。

• 1. E は二つ目の順位に入り、先頭にはなりません：不適切
• 2. A は 4 位なので、この順位には入りません：不適切
• 3. E は 5 位から三つ上がり、2 位に決まります：確実にいえる
• 4. B が先頭の場合も、3 位や 5 位の場合もあります：真偽不明
• 5. D が 3 位の場合も、別の空き順位に入る場合もあります：真偽不明

正解は 3 です。

肢 1 のように「三つ上がる」を「先頭になる」と読み替えないこと。肢 2 は上昇する E の順位を A に取り違えると選びやすい肢です。肢 4・5 は、たまたま作れた一つの並びだけでは決められません。作れる並びの全部で成り立つかを、最後に確認しましょう。

次へ

解き直すときは、各条件に「途中の情報」「二段をつなぐ変化」のどちらかを添えてみましょう。次に、上がるなら引く、下がるなら足す、と声に出して確認します。二段の扱いに慣れたら、抜いた人数と抜かれた人数が別々に与えられる問題へ進めます。