工房「すれ違った順番から、折り返しの順位を読む」1.1.0

すれ違った順番から、折り返しの順位を読む

導入

行きと帰りの人を頭の中で動かしていたら、誰と何番目に会ったのか分からなくなる。折り返しの問題では、そんな混乱が起こりがちです。この一講では、すれ違った順番を、動かない順位の表へ読み替えます。順序関係の基本を学んだ方が、往復の場面へ一歩進むための練習です。

お題は六人の過去問、練習は四人のオリジナルです。速さや出会う時刻を計算せず、数える人が一人減ることに注目しましょう。

お題

「D は」「E は」「F は」と、すれ違いを数えた本人に印を付けながら読んでください。問題文の「四人目に」は、その人から見て四番目に行き会った相手、という意味です。

ある水泳大会において、A〜Fの6人による100m自由形競技が50mプールで行われ、次のことが分かっている。なお、6人は異なる順で折り返し、その後も順位に変動はなかった。
アCは2位ではなかった。
イDは4人目にAとすれ違った。
ウEは2人目にCとすれ違った。
エEとFの順位は連続していなかった。
オFは5人目にBとすれ違った。
以上から判断して、確実にいえるのはどれか。

1. Aは4位だった。
2. Bは5位だった。
3. CはEより後、かつAより先にゴールした。
4. Dは1位だった。
5. EはDより後、かつFより先にゴールした。

出典：東京都・令和5年度・Ⅰ類B（就職氷河期世代）・問10

考え方

ポイント 順位が変わらない折り返しでは、すれ違いを数えた本人を並びから外すと、相手に出会う順番を読めます。

先に折り返した人たちには自分が折り返すまでに会い、後から折り返す人たちには戻る途中で会います。各組の中でも早い人から会うので、全員の折り返し順から自分だけを抜いた並びになるのです。自分とすれ違うことはありませんね。

扱うのは一度の折り返しで、出会う間に前後が逆転しない場面です。追い越しがある問題や、何周もする問題へ、そのまま当てはめないでください。

STEP1 数えた本人を外し、相手の候補を読む

まず、すれ違いの公式を一枚にまとめます。箱の上段は、順位が動くときの整理法です。今回は追い越しがないので、下の三項目を使います。

四人 X・Y・Z・W の例で、「X が二人目に Y と会った」とします。X を抜いた三人の中で、Y が二番目です。全体で二番目と即決するのは早いですよ。

たとえば Z・Y・X・W なら、X を抜くと Z・Y・W。X・Z・Y・W でも、抜いた後は同じです。前者の Y は全体の二番目、後者では三番目です。

図の横は全員を含む折り返し順、縦は人物です。薄い色は置ける候補、灰色は置けない位置、○ は位置が決まった印。下の確定欄では、未確定の位置を ？ で示します。別々の人の候補を好きに組み合わせてよい、という図ではありません。

一般にも、三人目に会う相手なら全体の三番目か四番目。公式でいう相手の順位は、本人抜きの列で何番目か、という意味です。数えた本人が相手より後なら数字はそのまま、本人が先なら一つ増えます。相手の候補と、本人がどちら側にいるかを一組で残すのがコツです。

人数を調べる公式も押さえましょう。一往復でほかの全員と一度ずつ会う設定なら、会った相手の総数に自分の一人分を加えます。往復全体で五人に会えば参加者は六人です。ただし分かるのは人数だけで、本人の順位は決まりません。順位まで言えるのは「折り返す前に五人全員と会った」と書いてあるときで、このとき本人が最後尾です。

STEP2 別の条件を重ね、共通する順番を確かめる

先ほどの例に「Y は二番目ではない」が加わったらどうでしょう。Y は三番目になり、X がその前にいる場合に絞れます。

ここで X まで先頭に固定しないでください。まだ二候補です。位置を絞ったら、ほかの人と同じ場所にならないかも確かめます。全員を決め切れなくても、残るどの並びでも正しい選択肢を探せばよいのです。

解説

STEP1 数えた本人を外してすれ違う相手の候補を読み、順位の条件を重ねる

この問題では折り返し後も順位が変わらないので、図の順位はゴール順位としても読めます。まず短く組み合わせられるウとアから使います。

ウだけなら、C の順位は 2 位か 3 位です。

E を抜いた五人の中で C が二番目だからです。C が 2 位なら E は C より後、C が 3 位なら E は C より先になります。

アを重ねると C は 3 位、E は 1 位か 2 位です。

C が 2 位のほうを消します。C を三番目にするには、数えなかった E が C の前に入る必要があります。順位だけでなく、この前後も一緒に決まります。

次はイです。数えているのは D、四人目の相手が A。この二人を逆にしないようにしましょう。

イも使うと A は 4 位か 5 位なので、E、C、A の順にゴールします。

選択肢 3 に届きました！ この記述に必要なのは三人の前後です。本番ならここで答えを選べます。以下は残りの条件も使い、他の肢がどうなるかを確かめる練習です。

STEP2 残る場所と、決まらない順番を確かめる

オから、B は 5 位か 6 位。もし B が 5 位なら、数えた F は B より後の 6 位です。A は 5 位を B に取られるので 4 位になり、イから D は A より後。ところが 5 位も 6 位も埋まっています。この場合は置き場所がありません。

オまで合わせると B は 6 位に決まります。

最後にエを使います。E は 1 位か 2 位なので、F がもう一方を占めると二人が連続してしまいます。3 位と 6 位も埋まっているため、F は 4 位か 5 位です。F を 5 位にすると A が 4 位になり、先ほどと同じく D を A より後に置けません。

全条件を使うと F は 4 位、A は 5 位となり、D と E が 1 位と 2 位を分け合います。

帯の①〜⑤は、条件を使った順です。「残り」は六人全員の並び方を数えたもの。色の付いたマスの数とは違います。ウ・ア・イだけで答えに届いても、まだ十六通りある点にも注目してください。

残る並びは D・E・C・F・A・B と E・D・C・F・A・B です。D と E の入れ替わりを残すのが大切。

選択肢を一行ずつ確かめる

「確実にいえる」は両方で成立、「真偽不明」は片方だけ、「不適切」はどちらでも成立しない記述です。

• 1. A はどちらの並びでも 5 位で、4 位にはなりません：不適切
• 2. B は 6 位です。五人目に会うことを 5 位と読み替えないでください：不適切
• 3. E は 1 位か 2 位、C は 3 位、A は 5 位なので前後の両条件を満たします：確実にいえる
• 4. D は 1 位にも 2 位にもなれます：真偽不明
• 5. E は F より先ですが、D より後になる並びと先になる並びが残ります：真偽不明

正解は 3 です。

時間配分では、全順位の完成をゴールにしないこと。候補を二つにした後、別条件で絞れず場合分けが増え続けるなら、それがいったん後回しにする捨て時です。いったん次へ進み、残り時間で戻ります。

別解：往路と復路を 2 本に並べて数える

公式の一つ増えるところが腑に落ちなければ、完成した並びを使って往路と復路を二段に分けましょう。D・E・C・F・A・B の場合、E が会う人を出会う順に書くと、次の二本になります。

• 往路（E が折り返すまで）：D
• 復路（E が折り返した後）：C、F、A、B

上段から下段へ続けて数えると、E が二人目に会うのは C です。もう一つの E・D・C・F・A・B なら、E の往路では誰とも会わず、復路で D、C、F、A、B の順に会うため、やはり C が二人目です。どちらも D の四人目は A、F の五人目は B となり、残った二通りを出会う場面から確かめ直せます。

練習問題

今度は四人です。すれ違った相手の位置と、数えた本人の前後を一組で書いてみましょう。

P、Q、R、Sの4人が同じ道を進み、折り返し地点で向きを変えて出発地点に戻った。この往復で追い越しはなく、同時に折り返した者もいなかった。次のア〜ウのことが分かっている。確実にいえるのはどれか。
アPは3人目にRとすれ違った。
イQは2人目にSとすれ違った。
ウSは2番目には折り返さなかった。

1. Pが最初に折り返した。
2. Qが最初に折り返した。
3. Sは3番目に折り返した。
4. PはQより先に折り返した。
5. SはQより先に折り返した。

出典：Educare オリジナル（すれ違い・練習）

STEP1 数えた本人を外し、二つの候補を読む

アから、R の候補は 3 番目と 4 番目です。

P を外すと R は三番目。R が全体の三番目なら P はその後、四番目なら P はその前です。

イを合わせると R は 4 番目に決まり、S は 2 番目か 3 番目です。

R が三番目なら P は四番目で、S は二番目になります。ところがイでは、その場合 Q を S より後に置く必要があり、三番目も四番目も空いていません。よってこの場合を外します。

STEP2 残る条件を重ね、共通する順番を確かめる

ウまで使えば S は 3 番目となり、P と Q が最初の二か所を入れ替えられます。

帯の①ア、②イ、③ウの順で、八通り、三通り、二通りへ絞れています。お題と同じく、最後の二人を無理に一列に固定しません。

P・Q・S・R と Q・P・S・R の二通りです。P を抜いて三人目が R、Q を抜いて二人目が S になることも、両方の並びで確かめられます。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じ意味で使います。

• 1. P は最初の場合も二番目の場合もあります：真偽不明
• 2. Q が最初の並びも、P に続く並びも残ります：真偽不明
• 3. どちらの並びも S は 3 番目です：確実にいえる
• 4. P と Q は前後を入れ替えられます：真偽不明
• 5. Q は 1 番目か 2 番目なので、S のほうが後です：不適切

正解は 3 です。

別解：往路と復路で確かめる

P・Q・S・R の並びなら、Q は往路で P、復路で S、R と会います。Q・P・S・R なら、Q は往路で誰とも会わず、復路で P、S、R と会います。二人目の S はどちらも同じですが、Q 自身は一番目にも二番目にもなります。だから肢 2 は正答にできないのです。

次へ

復習では「誰を外して数えたか」と「その人を戻すと相手がどこに入るか」を説明してみてください。次に順位が変わる問題へ進むときは、途中と最後の順番を別々に書きます。追い越しのある場面を、今日の一枚の順位表に押し込めないことが次の一歩です。