工房「大きな数をほぐす、資料解釈の計算テクニック」1.0.0

大きな数をほぐす、資料解釈の計算テクニック

導入

五桁の数を見て、もう筆算を始めていませんか。資料解釈では「何％か」を最後の桁まで求めなくても、選択肢を決められます。今回は概算で当たりを付け、掛け算で確かめる練習です。百分率と四則計算が分かれば始められます。

お題

二年分の総数と内訳だけを使います。まず、何が増えた割合を聞かれているか読みましょう。

ある図書館の年間貸出冊数は、2024年が42,680冊、2025年が51,100冊であった。このうち児童書の占める割合は、それぞれ25％、30％であった。2024年を基準とする2025年の児童書の貸出冊数の増加率はおよそいくらか。次のうち最も近いものを選べ。なお、示した割合に丸めによる誤差はないものとする。

1. 5％
2. 20％
3. 40％
4. 45％
5. 145％

出典：工房オリジナル（2026年作成・計算テクニックのお題）

考え方

ポイント 全体の数と内訳の割合が両方変わるときは、それぞれの倍率を掛け合わせ、実数の増減を判断します。

STEP1 比べる量と基準を読む

「増加量」は何冊増えたか、「増加率」は元の何％分増えたかです。同じ差でも、元が大きければ増加率は小さくなります。計算前に、この区別をつけましょう。

指標の公式 増加量＝後の数−前の数。増加率＝増加量÷前の数。対前年比＝今年の数÷前年の数です。

増加率は対前年比から 1 を引いても求められます。減った場合の減少率は、1 から対前年比を引きます。いずれも小数の割合を 100 倍すると％の表示になります。

たとえば 1.08 倍は元の 108％なので、増えたのは 8％です。0.92 倍なら元の 92％が残り、8％減です。「何倍」と「何％増」を同じ数字にしないでくださいね。

STEP2 10％と1％から比較の目安を確かめる

10％は位を一つ下げ、1％は位を二つ下げるだけです。この二つから必要な割合を組み立てます。

割合を分ける 15％分は「10％分＋その半分」、19％分は「10％分を二つ−1％分」で作れます。

4,800 の 15％なら 480＋240＝720。わざわざ 0.15 を掛ける筆算は要りません。「750 は全体の 15％を超えるか」も、750÷4,800 を計算せず、750 と 720 を比べれば決着します。割る代わりに、境目となる数を掛け算で作るのです。ここでは基準となる数が正であることを確かめています。

大小だけを知りたい分数にも工夫があります。上が同じなら下が小さい方が大きく、下が同じなら上が大きい方が大きい。この性質で、7÷42 と 9÷63 は、上下をそれぞれ 7 と 9 で割れば 1÷6 と 1÷7。前者が大きいと分かります。

前後の分数なら、上と下が同じ倍率で増えても値は変わりません。上の倍率の方が大きければ分数の値は増え、下の倍率の方が大きければ減ります。割り切れない数でも、倍率に十分な差があれば比較できます。

さらに大きな数は、左から三桁を残す概数に丸めて雑に計算します。ただし、これは行き先を探す段階。選択肢が近ければ、元の数で上限・下限を確かめます。概算で見当、境目で確定と覚えましょう。

STEP3 それぞれの倍率を掛け、増減率を確かめる

内訳の実数は「総数×構成比」です。前年と今年を一組ずつ作り、総数の倍率と構成比の倍率を調べます。

積の形の公式 ●×▲の実数の倍率＝総数の倍率×構成比の倍率。増えた割合は、その積から 1 を引いて求めます。

20％増を掛け算に使うなら 1.2 倍、20％減なら 0.8 倍です。増減率そのものの 0.2 を掛けると、元からあった量を落としてしまいます。

一方の要因が変わらなければ、もう一方の倍率だけで決まります。両方が増えるなら積も増えますが、増加と減少が混じるときは積が 1 より大きいかを見ます。大きな実数を二つ出す前に、掛ける小さな数を探しましょう。

解説

STEP1 児童書の実数を積にする

聞かれているのは、全貸出冊数でも構成比でもなく、児童書の冊数です。基準は 2024 年です。

児童書の冊数は、前年が 42,680×0.25、今年が 51,100×0.30 で表せます。

この二つをすぐ計算する必要はありません。今年の積を前年の積で割ると、「51,100÷42,680」と「30÷25」を掛けた形になります。割合の側の 100 は上下で消えます。

STEP2 総数と構成比の倍率を確かめる

総数は約 43,000 から約 51,000。増加分の約 8,000 は元の二割に近いので、約 1.2 倍と見当がつきます。構成比の 25％から 30％への変化も読みましょう。

構成比の倍率は 30÷25＝1.2 で、構成比そのものは 20％増です。

30−25＝5 は「5 ポイント上昇」。25 を基準にすると 5÷25＝0.2 なので、増加率は 20％です。ポイント差をそのまま冊数の増加率にしないのが第一の関門です。

STEP3 積で候補を絞り、境目を確かめる

概算では 1.2×1.2＝1.44 倍、つまり約 44％増。45％が有力ですね。ただ、40％も並んでいます。丸めただけで終えず、両者の中間の 42.5％を超えるか確かめます。

42,680 の 10％は 4,268、1％は 426.8。19％増と 20％増の境目を作ります。

総数の 19％増は 50,789.2 冊、20％増は 51,216 冊で、51,100 冊はその間です。

19％分は 4,268×2−426.8＝8,109.2。元に足すと下限が出ます。総数の倍率は 1.19 より大きく、1.20 より小さいと確定しました。

児童書の倍率は 1.428 より大きく 1.44 より小さいため、増加率は 42.8％超、44％未満です。

下限は 1.19×1.2、上限は 1.20×1.2 です。範囲ごと 42.5％より上で、45％と 145％の境目 95％より下です。これで概算が答えの保証に変わりました。

選択肢を一行ずつ確かめる

「確実にいえる」は最も近い数値、「不適切」は最も近くない数値です。資料不足なら「真偽不明」ですが、今回は全肢を判定できます。

• 1. 5 は構成比のポイント差で、冊数の増加率の範囲に届きません：不適切
• 2. 20 は片方の要因だけの増加率に近く、二要因の積を反映していません：不適切
• 3. 約 20％ずつを足すと 40％ですが、積で得た範囲は中間の 42.5％より上です：不適切
• 4. 42.8％超、44％未満なら、五つの候補の中で 45％が最も近くなります：確実にいえる
• 5. 145％は対前年比に近い数字で、増加率に戻すための 100％を引いていません：不適切

正解は 4 です。

二割ずつ増えて四割より大きくなるのは、最初の増加分にも次の倍率が掛かるからです。足し算との違いを、ここで押さえてください。

本番の時間配分は、概算で絞り、近い肢との境目だけを確認する形にします。捨て時は、基準を取り直しても式が決まらず、同じ筆算を始め直すとき。一度離れて他の問題へ進みます。

別解：冊数へ戻して確かめる

前年の 25％は四分の一、今年の 30％は 10％の三つ分です。

児童書は 10,670 冊から 15,330 冊へ増え、増加分は 4,660 冊です。

4,660÷10,670×100 は約 43.67％で、正答と一致します。復習では実数でも確かめ、本番では倍率の比較で計算を減らしましょう。

練習問題

今度は総数が減ります。基準の整理から積の比較まで、同じ三手順で試しましょう。

別の図書館では、2024年の年間貸出冊数が38,450冊で、その20％が児童書であった。2025年は年間34,500冊を貸し出し、児童書はその24％を占めた。2024年から2025年にかけての児童書の貸出冊数の増加率はおよそいくらか。次のうち最も近いものを選べ。なお、示した割合に丸めによる誤差はないものとする。

1. −10％
2. −2％
3. 2％
4. 8％
5. 20％

出典：工房オリジナル（2026年作成・計算テクニックの練習）

STEP1 前年を基準に二つの量を読む

前年の児童書は 38,450×0.20、今年は 34,500×0.24。負の増加率は減少を表します。

STEP2 減少と増加の倍率を確かめる

構成比は 24÷20＝1.2 倍です。

総数は約 38,000 から約 35,000 で、およそ一割減と見当を付けます。今度は残る方の約 0.9 倍を使います。

38,450 の 0.89 倍は 34,220.5、0.90 倍は 34,605 で、34,500 はその間です。

STEP3 積が1を超えるか確かめる

児童書の倍率は 1.068 より大きく 1.08 より小さく、増加率は 6.8％超、8％未満です。

0.89×1.2 と 0.90×1.2 で挟みました。総数が減っても児童書は増えています。一割減と二割増を足した約一割増より真の値が小さいのは、増と減が混じると誤差が下向きに出るからです。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じく、最も近い数値かどうかを表します。

• 1. −10％は総数の減少だけを見た値で、児童書の増加を表しません：不適切
• 2. 約 −0.1 と 0.2 を掛けると −2％ですが、掛けるのは増減率でなく倍率です：不適切
• 3. 2％と 8％の中間は 5％で、確かめた増加率はそれより大きい値です：不適切
• 4. 6.8％超、8％未満なので、五つの候補では 8％が最も近くなります：確実にいえる
• 5. 20％は構成比だけの増加率で、総数が減る影響を落としています：不適切

正解は 4 です。

別解：実数の差で確かめる

児童書は 7,690 冊から 8,280 冊へ増え、差は 590 冊です。

590÷7,690×100 は約 7.67％。同じ答えです。捨て時もお題と同じで、倍率を作れず同じ計算を繰り返したら一度離れます。

次へ

二問を閉じて、基準の量・掛ける二つの倍率・答えの範囲を言えるか試しましょう。次は構成比表の教材へ進み、同じ年の総数と割合を表から取り出す練習につなげます。