工房「比の公式は「ひと区切りの大きさ」から考える」1.0.0

比の公式は「ひと区切りの大きさ」から考える

導入

比の数字は読めるのに、実際の長さや個数を求めようとすると手が止まる。そんな方は、比を「同じ大きさの区切りが何個あるか」と読み直してみてください。この一講では、警察・消防などの教養試験に向けて、比を使う計算の土台を固めます。オリジナルの二問で、差や合計からひと区切り分を求める練習をしましょう。

お題

長さを比べる問題です。27 m が一本の長さなのか、二本のどの部分なのかを確かめてから計算してください。

工作用に用意したひもAとひもBについて、次の情報がある。
ア長さをA：Bの順に比で表すと4：7になる。
イBのほうがAより27m長い。
ひもBの長さに当たる値を選びなさい。

1. 9m
2. 36m
3. 54m
4. 63m
5. 99m

出典：Educare オリジナル（比の公式・お題）

考え方

ポイント 比といっしょに示された実際の量が、比のどの部分に対応するかを見抜くことです。

比が 2：5 なら、同じ大きさの区切りを二つと五つ並べた関係です。「2 m と 5 m」も「12 m と 30 m」も、この比になります。比だけで分かるのは二つの量のつり合い方。ひと区切りの大きさまで決まったわけではありません。

STEP1 比の数字を区切りの数として読む

まず、何と何を比べているかを確かめます。長さの比なら長さどうし、個数の比なら個数どうしです。比の左と右に名前を添えると、途中で相手を取り違えにくくなります。

下は、お題とは別の説明用のひもです。短いひもを 2 m、長いひもを 5 m と仮に決めました。ひと区切りを 1 m とすると、短いほうは二つ分、長いほうは五つ分です。線の長さと目盛を見比べてみましょう。

この区切り一つの大きさを k と呼ぶと、二つの量は 2k と 5k です。2k は「2 × k」の省略。両方に同じ k を使うから、もとのつり合いが保たれます。ここが比の公式の芯です。

ただし、別の問題や別の組の比に移れば、ひと区切りの大きさも変わり得ます。また k が整数になるとは限りません。例えば長さなら、ひと区切りが 0.5 m でも同じ読み方ができます。

STEP2 既知の量と区切りの数を対応させ、答えを確かめる

次に、m や個などの単位が付いた量を探します。それが片方の量なら片方の区切り数に、合計なら足した区切り数に、差なら引いた区切り数に対応させます。

例えば先ほどの 2：5 のひもで、今度は二本合わせて 42 m あるとします。合わせた区切り数は 2 ＋ 5 ＝ 7。したがって、ひと区切りは 42 ÷ 7 ＝ 6 m です。短いほうは 2 × 6 ＝ 12 m、長いほうは 5 × 6 ＝ 30 m になります。

比の数字が、そのまま実際の長さになるわけではないと見えてきましたね。実際の量を、それに対応する区切り数で割れば k が求まります。最後に、求めたい側の区切り数を掛ければ終わりです。

文字式に慣れている方なら、合計の条件を 2k ＋ 5k ＝ 42 と書いても同じです。式と図は別々の解法ではなく、同じ区切りを二つの書き方で表しています。まずは「この数字は何区切り分か」を言えれば十分です。

解説

STEP1 A と B の比を、四つ分と七つ分として読む

アの順番は A：B です。A に 4、B に 7 を添えます。まだ 4 m と 7 m だと決めてはいけません。

A の長さを四等分した一つ分と、B の長さを七等分した一つ分は等しくなります。

手元では、A を四区切り、B を七区切りとして並べましょう。区切り一つの大きさは同じです。左端をそろえると、B の余る部分は 7 − 4 ＝ 3 区切りになります。この「余る部分」が次の条件の受け皿です。

STEP2 長さの差を三区切りに対応させ、B を確かめる

B から A を引いた長さは 27 m です。

イが教えてくれるのは差です。七区切り全部に 27 m と書くと、B そのものの長さにしてしまいます。27 m は、A と重ならずに余った三区切り分に当たります。

ひと区切りに当たる長さは 9 m です。

計算は 27 ÷（7 − 4）＝ 9。文字なら 7k − 4k ＝ 27 なので、3k ＝ 27、k ＝ 9 です。ここまで来れば、もう長さは読み取れます！

A は 36 m、B は 63 m と決まります。

A は 4 × 9、B は 7 × 9 です。図の 36 と 63 の目盛の間が 27 m。二本の差が条件に戻ることを確かめましょう。

検算は二つです。63 − 36 ＝ 27 で差が合い、36：63 を両方 9 で割ると 4：7 で比も合います。差だけ合っても、比が違えば正解にはなりません。

比の式 36：63 ＝ 4：7 は、36 × 7 ＝ 63 × 4 としても確認できます。両方とも 252 です。左右を斜めに結んで掛けた値がそろう、という比の公式も、この同じ倍率の関係から出てきます。

選択肢を一行ずつ確かめる

数値が一つに決まる今回は、求めた長さに一致する肢が「確実にいえる」、一致しない肢が「不適切」です。「真偽不明」は条件を満たす場合によって答えが変わるときの判定なので、今回は使いません。

• 1. 9 m はひと区切り分で、B の七区切り分には足りません：不適切
• 2. 36 m は A の長さなので、問われた B と相手が違います：不適切
• 3. 54 m は六区切り分で、B の七区切り分と一致しません：不適切
• 4. 63 m は 7 × 9 で求めた B の長さに一致します：確実にいえる
• 5. 99 m は 36 ＋ 63 で求めた二本の合計です：不適切

正解は 4 です。

本番の捨て時は、比に名前を添えても、実際の量が片方・合計・差のどれに当たるか決められないときです。そこで手が止まったら別の設問へ進み、残り時間で戻ります。対応が見えた問題は、ひと区切り分と問われた量を求めて次へ。この教材では理解のため、五肢とも確かめています。

練習問題

今度は個数です。さっきは差でしたが、132 個が表しているのはどこでしょう。同じ二段階で解いてみてください。

青い部品と白い部品を、色ごとに二つの箱に収めた。
ア個数を青：白の順に比で表すと3：8になる。
イ二色を合わせた個数は132個である。
白い部品の個数に当たる値を選びなさい。

1. 12個
2. 96個
3. 36個
4. 60個
5. 132個

出典：Educare オリジナル（比の公式・練習）

STEP1 青と白の比を、三つ分と八つ分として読む

青の個数の三分の一と、白の個数の八分の一は等しくなります。

STEP2 合計を十一区切りに対応させ、白を確かめる

青と白の個数を足すと 132 個になります。

今度は合計なので 3 ＋ 8 ＝ 11 区切りです。前の問題で引いたから今回も引く、とはしません。操作を決めるのは、比のそばにある「合わせた」という言葉です。

ひと区切り分は 12 個です。

132 ÷ 11 ＝ 12。白は八区切り分なので、もう一度 8 を掛けます。

青は 36 個、白は 96 個に決まります。

• 1. 12 個はひと区切り分で、白の全部ではありません：不適切
• 2. 96 個は白の八区切り分に当たり、比と合計を満たします：確実にいえる
• 3. 36 個は青の個数なので、求める色と違います：不適切
• 4. 60 個は 96 − 36 で求めた二色の差です：不適切
• 5. 132 個は青を含めた合計で、白だけの個数ではありません：不適切

正解は 2 です。

36 ＋ 96 ＝ 132、36：96 ＝ 3：8。合計と比の両方を満たせば確認完了です。

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解説を閉じて、「27 は三区切り分、132 は十一区切り分」と理由付きで説明してみてください。それができたら、差が分かる場合にも合計が分かる場合にも同じ手順を使えます。次は、片方の量だけが分かる比の問題で、ひと区切り分を求める練習へ進みましょう。