工房「みかけの速さで求める、出会いと追いつき」1.1.0

みかけの速さで求める、出会いと追いつき

導入

速さを足すのか、引くのか。警察・消防などの教養試験に向けて、データ整理と公式の使い分けを練習します。お題は出会う地点、練習は追い抜く時間を求めます。

式で時間を出し、円形図で位置を確認します。末尾の線分図は別解です。

お題

1周2,100mのランニングコースがある。A、B 2人が同じスタート地点から、Aは時計回りに分速160m、Bは反時計回りに分速120mで、同時にスタートしたとき、2人が4回目にすれ違った地点のスタート地点からの距離はどれか。ただし、スタート地点からの距離は時計回りで測るものとする。

1. 300 m
2. 600 m
3. 900 m
4. 1,200 m
5. 1,500 m

出典：特別区・令和5年度・Ⅲ類・問18

考え方

ポイント 二人の間隔が縮む速さは、向かい合うときは速さの和、同じ向きに追うときは速さの差で決まります。

STEP1 速さ・間隔・時間を整理する

二人の速さ、埋める間隔、時間を書き出します。不明な欄は「？」。分速には分、時速には時間を合わせ、距離の単位もそろえます。出発がずれる場合は、二人とも動き始めた時点の間隔を使います。

STEP2 みかけの速さで公式を使って計算する

間隔が縮む速さが「みかけの速さ」です。速さを a、b、間隔を L、時間を t と書きます。

向かい合う出会いは （a＋b）×t＝L。「速さの和×時間＝埋める間隔」です。両側から近づく分を足します。

同じ向きでは、前の B が進む分を差し引きます。後ろの A が速いとき、（a−b）×t＝L。「速さの差×時間＝埋める間隔」です。

みかけの速さは一人の実際の速さとは違います。A が B 以下の速さなら、前方の B には近づけません。時間は L÷みかけの速さです。

STEP3 周回なら円形図で位置を確かめる

同じ地点から反対向きに進むと、道のりの合計が一周分増すたびに出会います。同じ向きなら、速い人が一周分多く走るたびに横へ並びます。公式の L を一周の長さにすれば、一回すれ違う（追い抜く）までの時間になります。

出発時は一回目に数えません。地点が問いなら、指定の向きに走る人の道のりから完了した周回分を除きます。時間だけなら位置計算は不要です。

解説

STEP1 速さ・間隔・時間を整理する

A は分速 160 m、B は分速 120 m。反対向きなので出会いの型です。

コース一周の長さは 2,100 m です。

一回分の距離は 2,100 m、時間は「？」。表の下には四回分の計算もまとめています。

STEP2 みかけの速さで公式を使って計算する

一回分は（160＋120）×t＝2,100 より 7.5 分。A はこの間に 1,200 m 進みます。四回目なら 7.5×4＝30 分です。

四回目にすれ違うのは、走り始めて 30 分たったときです。

ここで終わらないでくださいね。聞かれているのは時間でなく地点です。

STEP3 周回なら円形図で位置を確かめる

その間に A は 4,800 m、B は 3,600 m を走ります。

160×30 と 120×30 で求めました。時計回りで測るので A の 4,800 m を使います。二周分は 4,200 m、三周分は 6,300 m です。

A の道のりは二周分以上で、三周分には届いていません。

完了した二周分を引くと、4,800−4,200＝600 m。一周しか引かないと 2,700 m となり、まだ一周を超えています。

四回目の出会いは、出発点から時計回りに 600 m の地点です。

B 側でも、反時計回りに 3,600−2,100＝1,500 m。時計回りに読み直すと 2,100−1,500＝600 m で、同じ印に着きます。

選択肢を一行ずつ確かめる

求めた値と一致すれば「確実にいえる」、違えば「不適切」。条件不足を表す「真偽不明」は今回は使いません。

• 1. 300 m は二回目に出会う位置であり、四回目の位置とは違います：不適切
• 2. 四回目の時計回りの位置 600 m と一致します：確実にいえる
• 3. 900 m は四回目の位置 600 m と違います：不適切
• 4. 1,200 m は最初の出会いの位置です：不適切
• 5. 1,500 m は三回目の位置です。四回目を反時計回りに測った値でもあり、時計回りの指定に反します：不適切

正解は 2 です。

捨て時は、和か差か決まらず読み続けたとき。次へ進み、残り時間で戻りましょう。全肢吟味と別解は復習用です。

別解：線分図で確かめる

まず公式の理由を、分速 80 m と 50 m の説明用の二人で見ます。向かい合えば、1 分に 80＋50＝130 m 近づきます。

棒は道のりを比べるために左端をそろえています。同じ向きに出発する位置図ではありません。目盛が変わるので、長さは同じ図の中だけで比べてください。

同じ向きでは、後ろの人が 80 m 進む間に、前の人も 50 m 進みます。詰まるのは差の 30 m だけ。前の人が止まったつもりで 80 m 全部を使ってはいけません。

間隔が 260 m の出会いなら 260÷130＝2 分、150 m の追いつきなら 150÷30＝5 分。掛け戻せば元の間隔になります。

では、お題も条件を一つずつ重ねます。「道のり」は四回目までの累積距離、「位置」は時計回りに測る距離です。？は未確定なので、仮の棒から大小は読めません。

同じ時間で走る道のりは、A が 4 に対して B が 3 の割合です。

160：120 を小さくした比です。A が 4 m、B が 3 m という長さの指定ではなく、同じ時間分の比較です。

四回目までに二人が走った道のりを足すと、8,400 m になります。

2,100×4＝8,400 m。二人が四周ずつではなく、合計で四周です。8,400÷280＝30 分となり、公式と一致します。

4,800 m は総距離なので、二周分の 4,200 m を取り除きます。道のりと位置を分けるところも、公式で解いたときと同じですね。

練習問題

今度は同じ向きです。三つのデータから公式を選びましょう。

1周2kmのコースを、AとBの2人が走っている。Aの走る速さは時速16kmで、Bの走る速さは時速13kmであるとする。いまAがBを追い抜いたとすると、次にAがBを追い抜くまでにかかる時間として、最も妥当なものはどれか。ただし、走る速さは一定とする。

1. 10分
2. 20分
3. 30分
4. 40分
5. 50分

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅲ類・問21

STEP1 速さ・間隔・時間を整理する

時速は A が 16 km、B が 13 km。今から一周差をつけるまでを考えるので、距離は 2 km、時間は「？」です。

STEP2 みかけの速さで公式を使って計算する

（16−13）×t＝2 より、t＝2/3 時間。60×2/3＝40 分です。小数の 0.67 時間を 67 分と読まないでくださいね。

次に追い抜くまでの時間は 40 分です。

STEP3 周回なら円形図で位置を確かめる

時間だけなので位置計算は省きます。3×2/3＝2 km と掛け戻し、一周差を確認します。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語の使い方はお題と同じです。

• 1. 10 分では道のりの差が 0.5 km で、一周分に届きません：不適切
• 2. 20 分では差が 1 km で、まだ半周分です：不適切
• 3. 30 分では差が 1.5 km で、一周分より短いままです：不適切
• 4. 40 分で差が初めて 2 km となり、次の追い抜きが起きます：確実にいえる
• 5. 50 分では差が 2.5 km で、次の追い抜きは既に済んでいます：不適切

正解は 4 です。

捨て時は、一周する時間と追い抜く時間を混同したとき。道のりの差が一周分になる問題だと思い出しましょう。

別解：線分図で確かめる

ここからの図は m 表示です。道のりは、今の追い抜き以後に走る分を比べます。

一周分は、m に直すと 2,000 m です。

同じ時間で走る道のりの割合は、A が 16、B が 13 です。

同じ時間の二本を比べます。時速の差は 3 km なので、道のりの差は 1 時間に 3 km ずつ増えます。

次の追い抜きでは、A の道のりが B より 2,000 m 長くなります。

計算を km に戻すと、2÷3＝2/3 時間＝40 分。線分でも同じ答えになりました。

図の 32000/3 m は 32,000÷3 m の意味です。二本の差は 6,000÷3＝2,000 m となります。

次へ

解説を閉じて三つのデータを整理し、二つの公式を使い分けてみましょう。時間が出たら問いを再確認。次は流水算で、船の速さに流れが加わる場合を学びます。