工房「流水算は「行き帰りで等しい距離」を式にする」1.1.0

流水算は「行き帰りで等しい距離」を式にする

導入

船を同じように動かしても、川を下るときと上るときでは時間が違います。水に運ばれる分と押し戻される分があるからです。警察・消防などの教養試験に向けて、速さを基本から学びたい方へ。今回は、往復する区間を二つの式で表し、船自身の速さを取り出す練習をします。

東京消防庁の過去問を二問使います。お題は静水時の速さ、練習は漕ぐのをやめてからの所要時間です。計算を始める前に、二つの移動に共通するものを探しましょう。

お題

P から Q、Q から P では何が同じで、何が変わるでしょうか。選択肢の単位も見ておいてください。

一定の速度で流れている川において、上流のP地点と、そこから4km下流のQ地点を往復する船がある。なお、静水時における船の速さは一定であるとする。P地点からQ地点まで船で移動すると40分かかり、Q地点からP地点まで船で移動すると80分かかるとき、この船の静水時における速さとして、最も妥当なものはどれか。

1.分速25m
2.分速50m
3.分速75m
4.分速100m
5.分速125m

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅰ類（2回目）・問21

考え方

ポイント 同じ区間を往復するので、順行側と逆行側のそれぞれで距離を表し、等しい二つの式から未知数を求めます。

「静水時」は、水が流れない場所で船を動かす場合です。エンジンの出力だけによる速さ、と考えてください。手で漕ぐ船なら、漕ぐ力で水に対して進む速さに当たります。船が止まっているという意味ではありません。

まず流れがどちらへ向かうかを必ず確認してください。 流れに乗る向きが「順行」、流れに抗う向きが「逆行」です。この問題では、順行が下り、逆行が上りに当たります。以下では、この組で呼んでいきます。

箱の「地面に対する速さ」が、ここでいう静水時の速さです。流れがゼロなら岸から見た移動もこの値になり、流れがあるぶんだけ順行では増え、逆行では減ります。往復の途中で漕ぐ強さや水流が変わる問題では、それぞれの区間に合わせた式が必要です。今回は両方とも一定です。

STEP1 順行と逆行の速さを、静水時と流れで書く

静水時の分速を v、水流の分速を w とします。順行は v＋w、逆行は v−w です。逆行ではv から w を引く順を絶対に取り違えないでください。川に押し戻されるのは船のほうです。

お題とは別の説明例で確かめます。静水時は分速 8 m、流れは分速 2 m とすると、順行は 8＋2＝10。船が水に対して進む分と、水が船ごと運ぶ分を合わせます。

同じ船を上流へ向けると、逆行は 8−2＝6。船は水に対して 8 m 進もうとしますが、その間に水が反対へ 2 m 運ぶため、岸から見る移動は 6 m になります。

棒の長さは、その図の中だけで比べてください。二枚は目盛の取り方が違うので、同じ「静水の 8 m」でも紙の上の長さは揃いません。棒は 1 分間の距離を左端をそろえて比べています。川の地図でも、船の進む矢印でもありません。下流へ向かえば足す、上流へ向かえば引くという向きの判断は、言葉と組にして覚えましょう。

上流へ進める条件は v＞w です。v＝w なら、漕いでも岸からは止まって見えます。v＜w なら、船首を上流へ向けても下流へ流されます。上流の地点へ到着したと書かれていれば、こうした値の肢は計算前にも落とせます。

STEP2 同じ区間の距離を、二通りに表して等号で結ぶ

順行の速さに順行の時間を掛け、逆行の速さにも逆行の時間を掛けます。どちらも片道の距離になるので、二つを等号でつなげます。同じなのは距離。速さや時間を等しいと置くわけではありません。

なぜその等式になるのかを言えれば、式を丸暗記する必要はありません。「行きの分」と「帰りの分」を別々に書いてから、同じ区間に対応する二つをつなぐ。まずはこの素直な方針で解きましょう。

STEP3 方程式を解き、問われた量へ戻す

かっこを外して、v の項と w の項を整理します。分数があれば、先に両辺を分母の共通の倍数で掛けると扱いやすくなります。片方だけを掛けたり、かっこの中の一項だけを掛けたりしないでくださいね。

v と w の関係が出たら、残った条件へ戻します。求めるものが速さなのか時間なのか、ここでもう一度確認。最後に元の式へ代入し、往路・復路の両方を満たすかを確かめます。

解説

STEP1 順行と逆行の速さを、静水時と流れで書く

答えは分速なので、v と w は m/分、時間は分にそろえます。片道 4 km は 4,000 m。P から Q は順行（下り）で v＋w、Q から P は逆行（上り）で v−w となります。

ここで v を「下りの速さ」と名付けると、さらに w を足してしまいます。文字の名前は最初に固定しましょう。v は水流の助けも妨げも受けないときの船自身の分、w は水の分です。

STEP2 同じ区間の距離を、二通りに表して等号で結ぶ

順行で 40 分進んだ距離は（v＋w）×40。逆行で 80 分進んだ距離は（v−w）×80 です。いずれも P・Q 間なので、次の二本が書けます。

• ①（v＋w）×40＝4,000
• ②（v−w）×80＝4,000

右辺が同じですから、左辺どうしも等しくなります。

（v＋w）×40＝（v−w）×80

これが解くべき方程式です。距離が分かっていても、初めから v と w を一つずつ当てにいく必要はありません。二つの未知数の関係を先につくり、①か②へ戻ればよいのです。

図でも①②の意味を確認します。①を 40 で割った値は、順行の 1 分の距離です。

下りでは、1 分で 100 m 進みます。

②も 80 で割れば、逆行の 1 分の距離が出ます。

上りでは、1 分で 50 m 進みます。

この二つは岸から見た値です。①の中身が v＋w であることも加えておきます。

下りの 100 m は、静水時の 1 分と流れの 1 分を足した長さです。

図は条件を順に重ねた整理です。ここからの計算は、上で立てた距離の等式へ戻って進めましょう。

STEP3 方程式を解き、問われた量へ戻す

両辺を 40 で割ると、v＋w＝2（v−w）。右辺を展開して v＋w＝2v−2w です。w の項を左へ、v の項を右へ移すと 3w＝v、つまり v＝3w になります。

「静水時は流れの 3 倍」と分かりました。まだ分速の答えにはなっていません。①へ代入すると（3w＋w）×40＝4,000。40 で割って 4w＝100、したがって w＝25、v＝3×25＝75 です。

静水時には 1 分で 75 m 進みます。

水の流れが 1 分で運ぶ距離は 25 m です。

静水時の 75 m に 25 m を足すと 100 m、引くと 50 m に戻ります。

元の距離へも戻しましょう。順行は（75＋25）×40＝4,000、逆行は（75−25）×80＝4,000。片道の長さが両方で一致しました。75＞25 なので、上流へ進める条件も満たします。

時間だけを平均し、4,000÷｛（40＋80）÷2｝としないでください。それは往復全体の距離 8,000 m を総時間 120 分で割る値と同じで、往復平均の速さです。静水時の速さを取り出す計算にはなりません。

もう一つの型：速さと時間の逆比

方程式のほかに、逆比を使う型も選べます。距離が等しければ、時間が 2 倍かかる側の速さは半分。時間だけに着目して速さの関係を短く表せる方法です。

順行：逆行の時間は 40：80＝1：2 なので、速さは逆に 2：1 です。v＋w が v−w の 2 倍、すなわち v＋w＝2（v−w）となり、v＝3w が出ます。

順行の速さは 4,000÷40＝100。比の「2」に当たる 100 を二等分すると、逆行の「1」は 50 です。また v＝3w なので順行は 4w。4w＝100 から w＝25、v＝75 となり、先ほどと一致します。ここでは比の「2」を分速 2 m と読まないこと。比は二つの大きさの関係です。

選択肢を一行ずつ確かめる

条件で一つに決まる値と合う肢は「確実にいえる」、両立しない肢は「不適切」とします。今回は最終的な値が定まるので「真偽不明」の肢はありません。

• 1. 分速 25 m は水流の値であり、静水時の船自身の値ではありません：不適切
• 2. 分速 50 m は逆行（上り）の値で、水に押し戻される分を含みます：不適切
• 3. 分速 75 m なら、流れの 25 を加減して順行 100・逆行 50 を再現できます：確実にいえる
• 4. 分速 100 m は順行（下り）の値で、水に運ばれる分まで含んでいます：不適切
• 5. 分速 125 m に流れの 25 を加減すると順行 150・逆行 100 となり、条件と合いません：不適切

正解は 3 です。

本番では値を求めて肢を選べたら次へ進みます。捨て時は、単位をそろえても二つの距離の式をつくれず、手が止まったとき。一度離れ、残り時間で戻りましょう。全肢吟味は、この教材で速さの取り違えを見つけるための練習です。

練習問題

今度は片道の長さが書かれていません。それでも同じ区間を往復しています。距離を L としたまま、先ほどと同じ三つの手順を試してください。

一定の速さで進む船が、川の上流P地点から下流Q地点まで下るのにかかる時間は20分であり、Q地点からP地点まで上るのにかかる時間は30分である。P地点からQ地点まで、船を漕がずに進むときにかかる時間として、最も妥当なものはどれか。ただし、川の流れの速さは一定であり、船を漕がないときの速さは川の流れの速さに等しいものとする。

1. 110分
2. 115分
3. 120分
4. 125分
5. 130分

出典：東京消防庁・令和5年度・Ⅲ類・問16

STEP1 順行と逆行の速さを、静水時と流れで書く

片道の距離を L m、静水時を分速 v m、流れを分速 w m とします。順行（下り）は v＋w、逆行（上り）は v−w。問われているのは、漕がないときに水だけで運ばれる時間 t 分です。

STEP2 同じ区間の距離を、二通りに表して等号で結ぶ

順行は 20 分、逆行は 30 分。したがって①（v＋w）×20＝L、②（v−w）×30＝L です。①と②の右辺が一致するので、20（v＋w）＝30（v−w）とつなぎます。

同じ区間を往復しているので、下りの 20 分ぶんと上りの 30 分ぶんは同じ長さです。

L の数値がなくても等号は書けました。往復する区間が同じだと分かることが、この段階では大切なのです。

STEP3 方程式を解き、問われた量へ戻す

展開すると 20v＋20w＝30v−30w。移項して 50w＝10v となり、v＝5w が出ます。つまり静水時は水流の 5 倍。順行は v＋w＝6w です。

静水時の 1 分は、流れの 1 分の 5 倍です。

下りの 1 分は、流れの 1 分の 6 倍です。

①へ戻すと L＝6w×20＝120w。漕がない船の速さは w なので、w×t＝L＝120w です。w は正であるため両辺を w で割れます。よって t＝120 分。距離も流速の数値も決めずに、所要時間が出ました。

区間の長さは、流れが 1 分で運ぶ距離の 120 倍です。

戻して確かめると、順行は 6w×20＝120w、逆行は（5w−w）×30＝120w、漂流も w×120＝120w。三つとも同じ L です。v＝5w の時点で止めず、最後に t まで求めるのが、お題から一段進んだところです。

もう一つの型：速さと時間の逆比

時間は順行：逆行＝20：30＝2：3。速さを逆にして（v＋w）：（v−w）＝3：2 と表します。2（v＋w）＝3（v−w）を解けば、やはり v＝5w。順行は 6w です。

同じ距離を、6w で進むと 20 分。漕がずに w で進むと、速さが 6 分の 1 なので時間は 6 倍になります。20×6＝120 分です。「遅くなるから長くかかる」と、比を反転する向きも確かめましょう。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じです。区間の長さ L＝120w に対して、候補の時間に w を掛けて比べます。w は分速の数値なので、110 分なら進む距離は 110w m です。

• 1. 110 分では 110w しか進まず、終点まで 10w 足りません：不適切
• 2. 115 分では 115w となり、終点の 5w 手前にいます：不適切
• 3. 120 分なら 120w＝L となり、初めて終点に着きます：確実にいえる
• 4. 125 分では 125w まで進むので、到着時刻を 5 分過ぎています：不適切
• 5. 130 分では 130w となり、終点を 10w 通り過ぎています：不適切

正解は 3 です。

捨て時は、距離が不明だからと式をつくれず止まったとき。L を残した二式へ戻りましょう。漕がない船に v を使う誤りにも注意。水だけに運ばれるので、最後に使うのは w です。

別解：下りと上りの和と差から分ける

順行と逆行の速さが出ているなら、和差から二つの成分を分けることもできます。（v＋w）と（v−w）を足すと 2v、前者から後者を引くと 2w です。

したがって、静水時＝（下り＋上り）÷2、流れ＝（下り−上り）÷2。お題の整理図を見返すと、静水は（100＋50）÷2＝75、流れは（100−50）÷2＝25 です。速さの差そのものが流速なのではなく、差は水流の二つ分であることを忘れないでください。

練習でも、順行を L/20、逆行を L/30 と書けば、v＝（L/20＋L/30）÷2＝L/24、w＝（L/20−L/30）÷2＝L/120 となり、t＝L÷（L/120）では L が約分で消えて 120 分になります。

次へ

解説を閉じて、「何が等しいから、二つの式をつなげたのか」を声に出してみましょう。距離の等式と逆比のうち、自分で最後まで説明できる型で二問を解き直してください。次は通過算へ進み、列車が橋を渡り切るまでに必要な距離を整理します。