工房「余りをそろえて解く、剰余系の基本」1.0.0

余りをそろえて解く、剰余系の基本

導入

「割る数も余りもいくつもある」と、順に割り算をしたくなりますよね。剰余系は、余りの情報から整数を絞る問題です。条件を式に直すと、たくさんの候補を一本の式で扱えます。今回は、余分な量を見るお題から、不足する量を見る過去問へ進みましょう。

お題

まずは余りが全部そろった形です。割り算と最小公倍数が分かれば取り組めます。

3桁の自然数Nがあり、7、9、11のいずれで割っても余りは2である。Nの一の位の数はいくらか。

1. 1
2. 2
3. 3
4. 5
5. 9

出典：工房オリジナル（剰余系・余りが共通する基本問）

考え方

ポイント 余りを含む式を書き、倍数からの余分か不足をそろえると、最小公倍数を間隔にして候補を探せます。

割り算を掛け算に戻すのが出発点。割る数、余り、数の範囲を分けて読みましょう。

STEP1 割る数と余りを読み、剰余の式にする

たとえば 23 を 6 で割ると、商は 3、余りは 5。これは 23＝6×3＋5 と書き直せます。6 個入りのまとまりが三つあり、その外に 5 個残る、という意味です。この掛け算の形を「剰余の式」と呼びます。

剰余の式の基本 N＝p×q＋r。N は割られる自然数、p は割る正の整数、q は商、r は余りです。q は 0 以上の整数で、余りの範囲は 0≦r＜p です。

余りが割る数と同じになったら、もう一組を作れます。「6 で割って 6 余る」は、商を一つ増やして余りを 0 に直します。

別々の割り算に同じ商を使わないこと。割る数が違えば、できるまとまりの数も変わります。

STEP2 余分か不足をそろえ、倍数の式にまとめる

6 で割って 5 残る数を、小さい順に少し出してみます。5、11、17、23… と、6 ずつ増えます。式なら 6q＋5。q＝0 の 5 も候補です。「倍数」と聞いて q＝1 から始めると、最初の数を落としますよ。

同じ数を、隣の大きい倍数から見ることもできます。11 は 6 より 5 大きい数ですが、12 には 1 足りません。23 なら 18 より 5 大きく、24 には 1 足りない。余分 5 と不足 1 は、同じ数を別の側から見たものです。

余分・不足の二つの形 0＜r＜p のとき、N＝pq＋r＝p(q＋1)−(p−r)。余り r を足す形から、不足 p−r を引く形へ変えられます。

不足を引く側では、倍数の番号が一つ進んでいます。6q＋5 を 6q−1 としては等しくなりません。正しくは 6(q＋1)−1 です。文字を置き直すなら、そのことも意識しておきましょう。

複数の割り算では、まず余りが同じかを見ます。同じならその余りを引くと、どの割る数でも割り切れる数になります。そうした共通の倍数を「公倍数」と呼びます。余りが違うときは、割る数から余りを引き、不足が同じかを確かめます。

条件を一本にする公式 割る数全体の最小公倍数を L とします。余りが共通の r なら N＝Lk＋r。不足が共通の d なら N＝Lk−d。k は整数とし、N の範囲から使える値を決めます。

余分を引いた数、または不足を足した数は、すべての割る数の倍数です。最小公倍数を何回分取るかで、公倍数を全部表せます。

なお、割る数をいつでも全部掛ければよいわけではありません。6 と 8 なら最小公倍数は 24 です。48 ずつ進めると、途中にある共通の候補を飛ばします。6＝2×3、8＝2³ なら、2 は指数の大きい 2³ を取り、残る 3 を掛けて 24 です。

STEP3 範囲で候補を絞り、聞かれた量を確かめる

「三桁」は 100 以上 999 以下。「二桁」なら 10 以上 99 以下です。式ができたら、境目の直前・直後まで候補を調べ、範囲に入るものだけを残します。

数そのものが分かっても、そこで終わらないでくださいね。一の位、別の数で割った余り、個数では、最後の操作が違います。個数を数えるなら、最初の番号から最後の番号まで両端を含めるので、最後−最初＋1 です。

型の合図は「そろえてから、倍数性で並べる」。余りが同じなら引き、不足が同じなら足してそろえ、あとは最小公倍数ごとに現れます。求めたい N へ戻すときは反対の操作です。

解説

STEP1 三つの割り算を剰余の式にする

商をそれぞれ a、b、c と置きます。いずれも整数で、N＝7a＋2、N＝9b＋2、N＝11c＋2 です。割る数は違いますが、まとまりからはみ出した量は、どれも 2 ですね。

同じ N から 2 を引くと、三つの割り算を一度に扱えます。

N−2 は、7・9・11 の三つすべてで割り切れます。

最初の式は N−2＝7a。右辺が 7 の整数倍なので割り切れます。残る二本も同じです。

STEP2 最小公倍数で候補をまとめる

7 と 11 は素数、9 は 3² です。どの二つにも共通する素因数がないので、今回はそのまま掛けられます。

最小公倍数は 7×9×11＝693 です。

N−2 は 693 の倍数なので、候補は 693 ずつ増えます。

N−2＝693k から、N＝693k＋2。引いた余りを、ここで足して戻しました。元の N を求める式なのに最後を −2 にすると、別の条件を解くことになってしまいます。

STEP3 三桁に絞り、一の位を確かめる

k＝0 なら N＝2、k＝1 なら N＝695、k＝2 なら N＝1388 です。最初は一桁、次は三桁、その次は四桁。k が大きくなるほど N も増えるので、この先に三桁の数はありません。負の k なら N も負になり、自然数から外れます。

三桁の範囲に残るのは、N＝695 だけです。

2 は「三桁」の条件で落としました。範囲条件がなければ、695 以外にも候補は続きます。

695＝7×99＋2＝9×77＋2＝11×63＋2 と、三条件に戻せます。

余りの 2 はどの割る数よりも小さく、割り算として成立しています。ただし、この 2 が答えではありません。

695 の一の位は 5 です。

選択肢を一行ずつ確かめる

求めた 695 の一の位と一致すれば「確実にいえる」、一致しなければ「不適切」、条件だけでは決められなければ「真偽不明」とします。

• 1. 1 は 693−2 の末尾ですが、余りを足して戻す本問では 695 になります：不適切
• 2. 2 は与えられた余りであり、695 の末尾ではありません：不適切
• 3. 3 は最小公倍数 693 の末尾です。余りの 2 を戻していません：不適切
• 4. 5 は条件をすべて満たす 695 の末尾と一致します：確実にいえる
• 5. 9 は 695 の十の位であり、聞かれた一の位ではありません：不適切

正解は 4 です。

別解：二条件ずつまとめて確かめる

7 と 9 の条件から、N＝63t＋2 と置くこともできます。残る 11 の条件では N−2＝63t が 11 の倍数。63 と 11 に共通の素因数がないため、t は 11 の倍数です。t＝11k を戻すと N＝693k＋2。

捨て時は、余りも不足もそろわず、一個ずつの試し割りを延々と続けているときです。その型では片方の候補を書き出して共通する数を一つ見つけ、そこから最小公倍数ずつ足します。共通の数が出てこなければ印を付けて次へ。本問のように式がまとまれば、範囲を見て答えるところまで進めましょう。

練習問題

割る数・桁数・聞かれる量は同じです。今度は余りをそのまま引いてもそろいません。「次の倍数まで、いくつ足りないか」に切り替えてください。

ある3桁の自然数Aについて、Aを7で割ると5余り、Aを9で割ると7余り、Aを11で割ると9余るという。このとき、Aの一の位の数として、最も妥当なものはどれか。

1. 1
2. 3
3. 5
4. 7
5. 9

出典：東京消防庁・令和6年度・Ⅰ類2回目・問20

STEP1 余りを読み、不足の式にする

商を別々に置くと、A＝7a＋5、A＝9b＋7、A＝11c＋9。それぞれを次の倍数から見ます。

A に 2 を足すと、7 の倍数になります。

7a＋5＝7(a＋1)−2。足りない量は 7−5＝2 です。

9 で割る条件も、A＋2 が 9 の倍数という形です。

9b＋7＝9(b＋1)−2。ここでも 9−7＝2 ですね。

11 で割る条件も、A＋2 が 11 の倍数という形です。

11c＋9＝11(c＋1)−2。11−9＝2 となり、不足がそろいました。

STEP2 共通する不足から候補をまとめる

割る数はお題と同じなので、最小公倍数も 693 です。

A＋2 は 693 の倍数です。

A＋2＝693k、したがって A＝693k−2。今度は足して倍数にそろえたので、元の A へ戻すには 2 を引きます。「余りが共通なら＋、不足が共通なら−」という最後の形も、お題と比べてみましょう。

STEP3 範囲を読み、一の位を確かめる

k＝0 では −2 となり自然数ですらありません。k＝1 では 691、k＝2 では 1384。候補は増え続けるので、さらに先を調べる必要はありません。

三桁になるのは A＝691 だけです。

691＝7×98＋5＝9×76＋7＝11×62＋9 なので、すべての余りが合います。

691 の一の位は 1 です。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じです。一つに定まった 691 の末尾と照合します。

• 1. 1 は、三条件を満たす 691 の一の位です：確実にいえる
• 2. 3 は 693 の末尾です。不足の 2 を引く操作が残っています：不適切
• 3. 5 は 7 で割った余りであり、691 の末尾ではありません：不適切
• 4. 7 は 9 で割った余りです。一の位を求める計算とは別です：不適切
• 5. 9 は 11 で割った余りであり、691 の末尾とは異なります：不適切

正解は 1 です。

別解：二条件ずつまとめて確かめる

7 と 9 から A＝63t−2。11 の条件を加えると、63t が 11 の倍数になるので t＝11k です。A＝693k−2 に戻り、同じ答えへ着きます。練習では全肢を確認しましたが、本番は正答が定まったら次の問題へ進んで構いません。

次へ

二問の式を隠して、余りから余分と不足を一つずつ書いてみましょう。最後の＋2 と −2 を理由つきで説明できれば、この型の入口は押さえられています。次は 整数の基本 で、素因数分解を復習しましょう。