工房「素数に分けて、整数の中身を読む」1.0.0

素数に分けて、整数の中身を読む

導入

「何を掛ければ、きれいな 2 乗になるのか」。大きな数の掛け算を順番に試すと、なかなか終わりません。ひとかたまりの数のままでは手がかりが一つですが、素数の積にほどけば、素数の種類の分だけ「何個あるか」という手がかりが増えます。整数の正体をつかむ道具が素因数分解です。今回は、用語と指数の読み方を押さえ、必要な素数だけを補って最小の数を決めましょう。

お題

掛ける数と、出来上がる 2 乗の数を区別して読んでください。

360に自然数Aを掛けたところ、その積はある自然数の2乗になった。Aの最小値はいくらか。

1. 5
2. 10
3. 20
4. 40
5. 60

出典：工房オリジナル（整数の基本・お題）

考え方

ポイント 自然数の何乗かになるという条件は、素因数分解した各素数の個数に置き換え、足りない分を補って読みます。

最初に四つの言葉を整理します。今回は 1、2、3、…という正の整数を自然数とし、約数も正のものだけを考えます。整数には、これらに加えて 0 や負の数も含まれます。

• 倍数：ある数に整数を掛けてできる数です。たとえば 7n は、n が整数なら 7 の倍数と読めます。反対に、7 の倍数は 7n と表せます。
• 約数：割ったときに余りが出ない数です。たとえば 10 の約数は 1、2、5、10。10 は 5 の倍数で、5 は 10 の約数という関係です。
• 素数：正の約数がちょうど二つの自然数です。2、3、5、7 などがあり、約数が一つしかない 1 は含めません。
• 素因数分解：素数の掛け算まで分けることです。20＝4×5 では 4 が残るので、20＝2×2×5 まで進めます。

右肩の小さな数字を指数と呼びます。3² は 3 を二つ掛けた 9 であり、3×2 の 6 ではありません。3³ なら 3×3×3＝27 です。言葉だけで追いにくければ、いったん掛け算に戻しましょう。

今回使う指数の決まり 同じ数の積では指数を足します。たとえば 2²×2³＝2⁵。さらに全体を 2 乗すると、(2³)²＝2⁶ のように指数も 2 倍になります。積を丸ごと 2 乗する場合は、(2×5)²＝2²×5² と各数へ分けられます。

3 乗でも同じで、(2×5)³＝2³×5³ です。公式だけを唱えず、同じ掛け算が何組あるのかを数えると意味がつかめます。

STEP1 自然数の条件を式にする

「A を掛ける」なら掛け算を書き、出来上がる数が B の 2 乗なら B² と置きます。B も自然数です。A は掛ける数、B は出来上がる数と役割が違うので、別の文字で置きます。

STEP2 与えられた数を素因数分解する

2 で割れる間は 2、次は 3、その次は 5、と小さい素数から試します。たとえば 20 なら、20÷2＝10、10÷2＝5。最後の 5 も素数なので、材料は 2 が二つと 5 が一つです。これを 2²×5 と短く書けます。

指数を書かない 5 は 5¹ の意味です。「指数がないから数えない」ではありません。分解できたら掛け戻して元の数になるか確かめます。一度の割り算ミスを、その先へ持ち込まないためです。

STEP3 指数の不足を補い、最小値を確かめる

2 乗は、同じ素数が二つずつ組になる数です。たとえば 20＝2²×5 に 5 を一つ補うと、2²×5²＝10² になります。2 の組は完成しているので、そのままで構いません。

そろえる個数 2 乗にするなら、素数ごとの指数をすべて偶数にします。3 乗にするなら、すべて 3 の倍数にします。すでにそろった指数へ、さらに足す必要はありません。

2 乗だからといって、指数を全部 2 にするのではありません。4 や 6 も偶数なので使えます。3 乗では 3、6、9、…が使えます。素数ごとに組を作るので、2 と 5 を一つずつ集めて「二つそろった」とは数えません。

最小を求めるときの合言葉は、「そろった組は残し、余った素数に仲間を足す」です。掛け算で増やす問題なので、余った素数を取り除く操作もしません。

解説

STEP1 2 乗になる条件を式にする

2 乗する自然数を B とすると、条件は 360A＝B² です。

求めるのは A。B や B² は検算に使う数として、脇へ置いておきます。

STEP2 360 を素数の積にする

360÷2＝180、180÷2＝90、90÷2＝45。2 で三回割れました。残った 45 は 3×3×5 です。

360 の素因数分解は、2³×3²×5 になります。

8×9×5＝360 と掛け戻せるので、分解は合っています。ここから大きな掛け算を止め、素数を何個持っているかに注目します。

STEP3 二個組の不足を補って確かめる

2 は三個あるため、一組を作ると一個余ります。2 をもう一個足して四個にします。3 は二個で一組が完成。5 は一個なので、もう一個必要です。

条件を満たす A には、2 と 5 がそれぞれ少なくとも一個必要です。

この二つを含む自然数は、必ず 2×5＝10 の倍数です。したがって、A を 10 より小さくすることはできません。必要な材料を拾えましたね。

必要な分だけを掛けた A＝10 が、条件を満たす最小値です。

「10 ならできる」だけでなく、「10 未満では足りない」と言えたことが決め手です。最小を問う問題では、この二つをセットで確かめます。

360×10＝3600＝60² となり、元の条件も満たします。

素数で見ても、2⁴×3²×5²＝(2²×3×5)²。ここで 2 の指数が 4 のまま 2 乗になっていることを確認してください。

選択肢を一行ずつ確かめる

「確実にいえる」は最小値として正しい数、「不適切」は最小値として誤りの数です。「真偽不明」は条件だけでは決まらない場合に使いますが、今回は残りません。

• 1. 5 だけを補うと 2 の指数が 3 のまま残り、二個組を作り切れません：不適切
• 2. 10＝2×5 を補えば全指数が偶数になり、これより小さくはできません：確実にいえる
• 3. 20＝2²×5 を補うと 2 の指数が 5 になり、かえって一個余ります：不適切
• 4. 40 でも 360×40＝120² になりますが、10 で足りるので最小ではありません：不適切
• 5. 60＝2²×3×5 を補うと、2 と 3 の指数がともに奇数になります：不適切

正解は 2 です。

肢 1 は必要な 2 の補い忘れ、肢 3 は余る素数を一個ずつ補うところで二個補った誤りです。肢 4 は条件を満たせば終わりにした誤り。三つの落とし穴を、自分の計算でも点検しましょう。

時間配分は、分解を一度書き、指数を一周見直すところまでを一区切りにします。捨て時は、素数への分解が進まず同じ割り算を繰り返しているとき。いったん次へ進み、戻ったら掛け戻しから再開します。

別解：整数分離で B の側から確かめる

A＝B²÷360 と直すと、左辺が自然数である以上、右辺も自然数でなければなりません。成り立つかどうかは B 次第という読み方で、整数分離と呼びます。B² に 2・3・5 が含まれるので、B にも三つとも必要です。B にない素数は、2 乗しても現れません。そこで B は 30 の倍数に絞れます。

最初の 30 では A＝30²÷360＝2.5 となり、自然数ではありません。次の 60 なら A＝60²÷360＝10 です。正の B が大きくなれば A も大きくなるので、ここで最小と決まります。指数を補う主解法とは、探す文字が違う確認方法です。

練習問題

次は掛けられる数を変えず、完成する組を二個から三個へ切り替えます。分解をやり直すより、どの素数が何個不足するかに集中してください。

360に自然数Aを掛けたところ、その積はある自然数の3乗になった。Aの最小値はいくらか。

1. 15
2. 25
3. 50
4. 75
5. 150

出典：工房オリジナル（整数の基本・練習）

STEP1 3 乗になる条件を式にする

今回は 360A＝B³ と置き、A と B を自然数として考えます。

2 乗のときの「偶数」を、そのまま使わないでくださいね。

STEP2 同じ素数の個数を読む

360＝2³×3²×5 なので、2 は三個、3 は二個、5 は一個です。

STEP3 三個組の不足を補って確かめる

2 は三個でそろっています。3 は一個、5 は二個足せば、どちらも三個になります。

条件を満たす A は、3 と 5² を因数に持つ必要があります。

したがって A の最小値は、3×5²＝75 です。

これより小さい数では材料が足りず、余計な素数を掛ければ大きくなるだけです。

360×75＝27000＝30³ となり、三個ずつの組が完成します。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じで、条件を満たす A の最小値かどうかを判断します。

• 1. 15＝3×5 では 5 の指数が 2 までしか増えず、一個足りません：不適切
• 2. 25＝5² では 3 の指数が 2 のままで、三個組が未完成です：不適切
• 3. 50＝2×5² では 2 の指数が 4、3 の指数が 2 になり、どちらもそろいません：不適切
• 4. 75＝3×5² で三つの指数がすべて 3 になり、これが最小です：確実にいえる
• 5. 150＝2×3×5² では、そろっていた 2 まで増やし、指数が 4 になります：不適切

正解は 4 です。

別解：3 乗する数から確かめる

B³ に 2・3・5 が必要なので、B はここでも 30 の倍数です。今度は最初の 30 で A＝30³÷360＝75 と自然数になります。これより小さい B は使えず、B を増やすと A も増えるため、75 が最小です。3 乗を「3 倍」と取り違えず、同じ数を三回掛けましょう。

次へ

解説を閉じ、360 の分解から二問を解き直しましょう。2 乗なら 2 を補い、3 乗なら 2 を補わない理由まで言えれば、手順が身についています。次は約数の個数を求める公式へ。2000 を 2⁴×5³ と分けたら、指数それぞれに 1 を足し、4＋1 と 3＋1 を掛けて約数 20 個と数えます。素数を「補う」考え方から、「何個使うかを選ぶ」考え方へ広げます。