工房「仕事算は、同じ時間に進む量でそろえる」1.0.0

仕事算は、同じ時間に進む量でそろえる

導入

一人なら 10 分、もう一人なら 20 分。二人で取り組むと何分になるでしょう。「時間を足せばよさそう」と感じたら、計算の前に少し立ち止まってみてください。仕事算では、まず一人ひとりが同じ時間に進める量を調べます。今回は数的推理の基本を固めたい方へ、作業とプールの過去問を使って、その手順を練習する一講です。

必要なのは分数の計算と、時間の単位をそろえること。人手が増えたときも、水を抜く栓が加わったときも、同じ考え方から始められます。

お題

まずは、三人の時間の単位に注目してください。一人だけ「時間」で書かれています。そこに印を付けたら、自分でも一度考えてみましょう。

ある仕事を完成させるのに、Aだけで行うと10分、Bだけで行うと20分、Cだけで行うと1時間を要する。この仕事を3人で同時に行うときにかかる時間として、最も妥当なものはどれか。

1. 6分00秒
2. 6分30秒
3. 7分00秒
4. 7分30秒
5. 8分00秒

出典：東京消防庁・令和7年度・消防官Ⅲ類（2回目）・問22

考え方

ポイント 一人で終える時間が分かったら、同じ時間にどれだけ進むかへ直し、仕事量をまとめます。

ここでいう仕事量は、何枚、何リットルといった実数で分からなくても大丈夫です。一通り終えた状態を 1 と決めれば、半分終わると 1/2、四分の一なら 1/4 と表せます。この 1 は、1 分や 1 個という指定ではありません。

STEP1 終わりを 1 と決め、同じ時間に進む量を読む

練習用に、X が一定のペースで行うと 4 時間かかる作業を考えます。4 時間で 1 を終えるので、1 時間では 1÷4＝1/4 です。時間を四つに等分したら、進む量も四つに等分するわけです。

図では割合を％で示します。全体の 1 が 100％、1/4 が 25％という対応です。線の長さは作業の割合で、時間の長さではありません。

単独で 4 時間という情報を、そのまま棒の長さにしていない点を見てください。短い時間で終える人ほど、同じ 1 時間に多く進めます。日数の問題でも同じで、まず 1 日分へ直します。

STEP2 増減をまとめ、終わりまでの時間を確かめる

Y も単独では 4 時間かかり、二人が同時に働く例を考えます。それぞれのペースが変わらなければ、1 時間に進む量は 1/4＋1/4＝1/2 です。

半分ずつ進むなら、二回分で終わりますね。式では 必要な量÷単位時間の量、この例なら 1÷(1/2)＝2 時間です。逆に 1/2×2＝1 と戻せば、終わりに届くことも確かめられます。

4＋4＝8 時間では、一緒に働くほうが遅くなってしまいます。足すのは「同じ時間で進めた量」です。水の問題では、入れる量は足し、出す量は引きます。途中まで済んでいる場合は、必要な量を残りに置き換えます。

解説

STEP1 全体をそろえ、三人の 1 分間の量を読む

仕事を一通り終える量を 1 にします。A と B に合わせて、C の 1 時間は 60 分と読み替えましょう。これで三人とも、1 分でどれだけ進むかを比べられます。各人のペースは一緒に働いても変わらず、同じ部分を重ねて作業しないという、基本の仕事算の設定で考えます。

A は 1 分で全体の 1/10 を片付けます。

10 分で 1 なので、1÷10＝1/10。図の A は、その割合を表す 10％です。

？の棒を見て、B や C も A と同じ量だと読まないでください。問題に情報がないのではなく、一つずつ条件を加えている途中です。図ごとの目盛も確認し、別の図と棒の見かけの長さだけで比べないようにしましょう。

B が 1 分で進めるのは、全体の 1/20 です。

同じ仕事に A の二倍の時間がかかるので、1 分間の量は A の半分になります。

C の 1 分間の量は全体の 1/60 です。

ここを 1 としてしまうと、1 時間分と 1 分間の量が混ざります。分母の 60 は、最初に単位をそろえた結果です。

図の 5/3％は、100％の 1/60 に当たります。計算では百分率に直し直す必要はありません。本文の分数で進めましょう。

STEP2 三人分をまとめ、完成する時間を確かめる

三人が同時に働くので、各人の 1 分間の量を足します。分母を 60 にそろえると、1/10＋1/20＋1/60＝(6＋3＋1)/60＝10/60 です。

3 人で 1 分間に進める量は、全体の 1/6 です。

ここまで来れば、あと一息です。1/6 ずつ進む作業を、全体の 1 まで何回繰り返すか。1÷(1/6)＝6 分となります。

6 分あれば、3 人が進めた量の合計はちょうど全体の 1 になります。

各人の量へ戻しても確かめましょう。

その 6 分で A は 3/5、B は 3/10、C は 1/10 を受け持ちます。

6/10＋6/20＋6/60＝1 です。誰かが単独で仕事を完了してから交代するのではなく、三人の担当分を合わせて完成しています。

選択肢を一行ずつ確かめる

完成する時刻は一つに決まっています。その時刻と合えば「確実にいえる」、合わなければ「不適切」です。今回は情報不足による「真偽不明」はありません。

• 1. 6 分では (1/6)×6＝1 となり、全体をちょうど終えます：確実にいえる
• 2. 6 分 30 秒は 13/2 分で、同じペースの計算量は 13/12。完成時刻を過ぎています：不適切
• 3. 7 分間の作業量を計算すると 7/6 となり、全体の 1 を上回ります：不適切
• 4. 7 分 30 秒は 15/2 分。C の分を引いてしまうと出る答え（2/15）です。計算量は 5/4 なので、その前に完成しています：不適切
• 5. 8 分間なら計算量は 4/3。完成までに 8 分も要しません：不適切

正解は 1 です。

本番の捨て時は、単位をそろえても一人分の量が分からず、式を何度も立て直し始めたときです。いったん別の設問へ進みましょう。今回は通分して答えを出し、量を掛け戻せれば十分です。全肢の計算は手順を確かめる復習用です。

練習問題

人の作業を水に置き換えます。手順は同じですが、C だけは水を外へ出す役です。満水に近づく向きか、遠ざかる向きかを考えてください。

ある空のプールを満水にするのに水栓Aで給水すると6時間かかり、水栓Bで給水すると8時間かかる。また、このプールが満水のとき、排水栓Cで排水すると、空になるまで24時間かかる。水栓A、B及び排水栓Cを同時に使ったとき、この空のプールを満水にするのに要する時間として、正しいのはどれか。ただし、水栓A、Bの給水量及び排水栓Cの排水量は、それぞれ常に一定とする。

1. 4時間
2. 4.5時間
3. 5時間
4. 5.5時間
5. 6時間

出典：東京消防庁・令和7年度・職員Ⅲ類（事務・技術）・問15

STEP1 満水を 1 として、1 時間分を読む

空から満水までの量を 1 にします。三つとも時間の単位なので、そのまま1 時間分へ直せます。

A は 1 時間で満水量の 1/6 を入れます。

B の 1 時間分の給水は、満水量の 1/8 です。

C は 1 時間に満水量の 1/24 を外へ出します。

STEP2 給水から排水を引き、時間を確かめる

C の量を引くので、1/6＋1/8−1/24＝(4＋3−1)/24＝6/24 です。

差し引きすると、1 時間に満水量の 1/4 が増えます。

入るほうが多いので、水は増え続けます。必要な量は 1 ですから、1÷(1/4)＝4 時間です。

4 時間で入る量から出る量を引くと、ちょうど満水量の 1 になります。

4 時間分の給水は A が 2/3、B が 1/2、排水は C が 1/6 です。

2/3＋1/2−1/6＝1 と戻せます。C まで足すと 1/3 ずつ増える計算になり、排水している条件と合いません。

選択肢を一行ずつ確かめる

• 1. 4 時間で (1/4)×4＝1 となり、初めて満水になります：確実にいえる
• 2. 4.5 時間分の純給水量を計算すると 9/8。その時刻までに満水へ達しています：不適切
• 3. 5 時間分では計算上 5/4 となるため、満水になる時刻を過ぎています：不適切
• 4. 5.5 時間分は計算上 11/8 で、初めて満水になる時刻ではありません：不適切
• 5. 6 時間分なら計算上 3/2 となり、所要時間として長すぎます：不適切

正解は 1 です。

1 を超える数は、一定のペースをその時間分まで延ばした計算量です。プールの中に容量を超える水が残る、という意味ではありません。捨て時の判断の前に、C に引き算の印を付けられたか確かめましょう。

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解説を閉じて、二問の「全体の 1 は何か」「同じ時間分に直すといくつか」「足すか引くか」を説明してみてください。続いて、概念例の二人が 1 時間働いたところで一人が抜ける場合も考えてみましょう。残る半分を一人で進めるには 2 時間、最初からなら計 3 時間です。途中で顔ぶれが変わる仕事算では、このように済んだ量と残量を分ける方法へ進みます。