工房「正多面体の数は、面からたどる」1.1.0

正多面体の数は、面からたどる

導入

立体の頂点を、頭の中の図で一つずつ数えようとしていませんか。五種類の形は押さえておきますが、見えない部分まで想像して数える必要はありません。正多面体の面・辺・頂点は、決まった性質と短い計算で数えられます。警察・消防などの教養試験に向け、空間把握を基本から学びたい方のための一講です。

使うのは二つのオリジナル問題。見えない裏側を想像して数える代わりに、五種類の対応関係と一つの式を使います。最初に覚える形の知識と双対の組を土台に、頂点と辺の数を取り戻しましょう。

お題

まずは表を見ずに考えてみてください。「八」という数字が何の数なのか、そこが入口です。

正八面体の頂点の数はいくらか。

1. 4個
2. 6個
3. 8個
4. 12個
5. 24個

出典：Educare オリジナル（正多面体の性質・お題）

考え方

ポイント 立体の名前は面の枚数を表し、頂点は双対の相手の面数、辺はその立体の面数と頂点数の和から2を引いて出すことです。

ここで扱うのは、へこみのない五種類の正多面体です。どの面を取り出しても、形も大きさもそろった正多角形になります。さらに、どの頂点でも出会う面の枚数は同じです。面の形がそろうだけでは、この二つ目の条件を満たすとは限りません。

面は立体を囲む平らな部分、辺は面と面の境目、頂点は辺が集まる点です。正六面体は立方体のこと。普通の直方体まで正六面体と呼ぶわけではありません。

図の下にある V は頂点数、E は辺数、F は面数です。まずこの 1 枚を見て、次から必要な行だけを読みます。表の数字を一度に全部暗唱しようとせず、覚える材料と、そこから計算する結果を分けて進めましょう。

STEP1 面の形と枚数、頂点に集まる枚数を読む

最初に覚えるのは、面の形と一つの頂点に集まる面の枚数です。面が三角形なのは四・八・二十面体で、一つの頂点には順に三・四・五枚が集まります。六面体は正方形、十二面体は正五角形で、どちらも一頂点に三枚です。面数は名前から読めるので、頂点数と取り違えないでください。

図は立体の見取り図ではなく、性質を照合する表です。「1頂点」は、そこで出会う面の枚数。太字の欄が今読む値です。表の値はどれも正しい知識で、未確定の欄はありません。

たとえば四面体なら、正三角形が四枚、一頂点には三枚。六面体なら、正方形が六枚、一頂点には三枚です。表を何となく横に眺めるより、必要な欄を声に出して読むほうが取り違えを防げます。

五種類に限られる理由も、面の角度から確かめておきましょう。

正三角形の一角は 60°なので、一つの頂点に三・四・五枚を寄せると角度の合計が一周に届かず立体の角を作れますが、六枚だと 360°で平らになり、できるのは四・八・二十面体の三種類です。 正方形の一角は 90°で、三枚なら 270°、四枚では 360°になるため、正六面体だけが残ります。 正五角形の一角は 108°で、三枚なら 324°、四枚では一周を超えるため正十二面体だけが残り、正六角形以上では最低限の三枚でも 360°以上になるので、この五種類で終わりです。

STEP2 双対で頂点を決め、式で辺を確かめる

次は頂点を決めます。各面の真ん中にある点（重心）を新しい頂点にして、辺を共有する面どうしでその点を結ぶと、相手の立体ができます。これを双対と呼びます。次の三組を覚えて使いましょう。

• 四面体からは、四面体ができます。
• 六面体からは八面体、八面体からは六面体ができます。
• 十二面体からは二十面体、二十面体からは十二面体ができます。

ここではいずれも「正」の付く立体です。四面体だけが自分自身と組になり、あとは六と八、十二と二十がたすきがけで向かい合うと覚えます。元の面が相手の頂点になります。つまり、求める立体の頂点数は、双対の相手の面数です。四面体の相手は四面体だから頂点は4個。組立てを頭で再現せず、この対応を知識として使えば十分です。

六面体の面6枚は八面体の頂点6個へ、八面体の面8枚は六面体の頂点8個へ対応します。同じ行の数字を交換するだけ、と覚えるのではなく、相手の行へ渡って面と頂点を結ぶのが、たすきがけの読み方です。

頂点が決まれば、辺は「面数＋頂点数−2」で出ます。これは「頂点数＋面数−辺数＝2」を辺について書き直した形で、どの正多面体でも成り立ちます。オイラーの公式と呼ばれる関係です。四面体なら 4＋4−2＝6 本。双対の組では面数と頂点数が入れ替わるので、辺数は同じになります。

頂点が先、辺があと。 頂点を決めないまま式に入ると、未知が二つ残って決められません。相手の「面の数」を読んだか、一度立ち止まって確かめてください。

解説

STEP1 八面体の行で、計算の材料を読む

お題で聞かれているのは頂点です。名前の八をそのまま答えたくなりますが、八枚あるのは面でしたね。まず、面の情報を確かめます。

正八面体の面は、すべて正三角形です。

形が決まったら、次はその枚数です。名前の八はここに現れます。

正八面体は、その正三角形の面を8枚持ちます。

正八面体では、一つの頂点に4枚の面が集まります。

この四枚は頂点の個数ではありません。面の形と一頂点の枚数は、立体の基本的な性質として覚える情報でしたね。頂点の個数を取り戻すには、双対の組を使います。八面体の相手を選んで、その行の面数へ目を移しましょう。

正八面体の双対は正六面体で、その面は6枚です。

持ってくるのは六面体の「面の数」です。六面体の頂点8個を写してしまうと、八面体の面8枚へ戻ってしまいます。相手の行へ移るだけでなく、どの欄を読むかまで声に出すと、この取り違えを防げます。

STEP2 相手の面数を頂点に移し、式で確かめる

相手の六面体の面が6枚なので、八面体の頂点は6個です。辺は 8＋6−2＝12 本。

面8枚と頂点6個から、正八面体の辺は12本と決まります。

正八面体の頂点は6個、辺は12本です。

6＋8−12＝2 となり、確認の式にも合いました。八つの三角形を描いて頂点を拾わなくても、ここまで決められます。

図の①②③は、数を使う順番です。①の8と、②から持ってきた頂点6を足して2を引き、③の辺12へ着きます。

六面体なら6枚の面に対して、頂点は8個です。八面体では面が8、頂点が6。この入れ替わりが、今使った双対の関係です。本番で頂点だけを聞かれたら、相手の面数で答えが出たところで止めて構いません。

選択肢を一行ずつ確かめる

正しい値に一致すれば「確実にいえる」、異なれば「不適切」です。「真偽不明」は条件から決まらない場合ですが、今回は頂点数が一つに決まるので使いません。

• 1. 4は一頂点に集まる面の枚数で、双対から求めた頂点6個とは違います：不適切
• 2. 双対の相手である六面体の面数6に一致します：確実にいえる
• 3. 8は面の枚数です。頂点の個数と読み替えることはできません：不適切
• 4. 12は辺の本数であり、頂点の6個とは異なります：不適切
• 5. 24は三角形8枚の角を別々に数えた延べ回数です。同じ頂点が四回ずつ入り、24÷4＝6個となります：不適切

正解は 2 です。

本番の捨て時は、双対の相手も、次の別解に使う一頂点の枚数も思い出せず、頂点数を決められないときです。形を想像して時間を使い続けず、いったん次の設問へ進みます。値が出て選択肢と一致したら、そこで次へ。この教材の全肢確認は、数字の取り違えを直すための練習です。

別解：面から数えて確かめる

双対の相手がすぐ出てこないときは、面の枚数から数え直せます。ただし、ここでも見取り図を想像して数えません。面を一枚ずつ別の紙だと思い、角や辺をいったん重複込みで数えるのです。

頂点を求める式は「一面の角の数 × 面の枚数 ÷ 一頂点に集まる面の枚数」です。八面体では、一枚の三角形に角が三つ、それが八枚なので 3×8＝24 回。ただし、同じ立体の頂点を四枚それぞれの角として数えています。そこで 24÷4＝6 個。双対から出した答えと一致しましたね。

一方、辺を求める式は「一面の辺数 × 面の枚数 ÷ 2」です。どの辺も、境目で接する二枚の面から一回ずつ数えられます。二枚の紙に書いた同じ境目を、一本へ戻すための割り算です。

辺は必ず2で割る。頂点は、集まる面の枚数で割る。 どちらも割り算だからと半分にそろえないでください。八面体の頂点で24を2で割ると12になりますが、それは頂点6個をまだ二回ずつ数えた数です。「何を何回数えたか」を言えば、割る数を自分で選べます。

主解法では双対で頂点を出してから辺へ進みます。この別解は、覚えた対応を忘れたときの復元と、誤答の数字がどこから来たかの点検に使いましょう。

練習問題

今度は辺を求めます。同じ二段階で、頂点を先に決めてから、辺の式へ進む理由を説明してみてください。

正十二面体の辺の数はいくらか。

1. 12本
2. 20本
3. 24本
4. 30本
5. 60本

出典：Educare オリジナル（正多面体の性質・練習）

STEP1 面の形と枚数を読む

正十二面体の面は、すべて正五角形です。

形を確かめたら、十二という名前から面数を読みましょう。

正十二面体は、その正五角形の面を12枚持ちます。

正十二面体では、一つの頂点に3枚の面が集まります。

STEP2 双対で頂点を決め、式で辺を確かめる

正十二面体の双対は正二十面体で、その面は20枚です。

相手の面が20枚なので、十二面体の頂点は20個です。

辺は 12＋20−2＝30 本。二十という数は、今回は頂点のほうでした。

面12枚と頂点20個から、正十二面体の辺は30本と決まります。

正十二面体の辺は30本で、頂点数と面数の和から辺数を引くと2です。

20＋12−30＝2 でも確かめられます。

①の12、②で得た頂点20を使って、③の30へ進みます。お題は頂点で答えが出ましたが、今回は辺まで進んで初めて解答です。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題と同じで、求めた辺数に一致する肢を「確実にいえる」、異なれば「不適切」とします。

• 1. 12は面の枚数で、辺30本とは異なります：不適切
• 2. 20は頂点の個数であり、辺の本数ではありません：不適切
• 3. 24は面数12を二倍した数で、式12＋20−2の答えとは異なります：不適切
• 4. 12＋20−2で得た30本と一致します：確実にいえる
• 5. 60は五角形12枚の辺を別々に数えた延べ回数です。一本は二枚で共有するので、60÷2＝30本です：不適切

正解は 4 です。

捨て時は、双対でも面からの数え直しでも材料がそろわないときです。頂点が決まれば、面数との和から2を引きましょう。

別解：面から数えて確かめる

今回は辺なので、五角形一枚の辺5本を12枚分数えて、5×12＝60 回。どの境目も二枚で共有するため 60÷2＝30 本です。一頂点の三枚を使って3で割る計算ではありません。

肢5は重複を除く前の数字でした。主解法の 12＋20−2 と別解の 5×12÷2 は、どちらも30本を表しています。面の名前、頂点の個数、一頂点の枚数を分けて読めれば、二通りで同じ答えを確かめられます。

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復習では、表を閉じて「八面体の頂点はなぜ6か」「十二面体の辺はなぜ30か」を一文ずつ説明してください。双対から頂点、頂点から辺へと順に言えれば、暗記した数を自分で確かめられます。次は正六面体の展開図で、離れた二枚が組立て後にどんな位置関係になるかを、決まった規則で調べましょう。