工房「表からつなぐ、全称型の命題」1.1.3

表からつなぐ、全称型の命題

導入

「英語が好きなら国語も好き」。逆も正しそうに感じませんか。今回は、全員向けの条件を論理式に直し、表から答えを作ります。科目名と矢印で整理する方法を、二問で身につけましょう。

お題

得意・不得意ではなく、好みだけの話です。

ある学校の学生について、次のア~ウのことがわかっているとき、確実にいえることとして、最も妥当なものはどれか。
ア英語が好きな学生は、国語が好きだ。
イ英語が好きではない学生は、数学が好きだ。
ウ社会が好きな学生は、国語が好きではない。

1.英語が好きな学生は、社会が好きである。
2.数学が好きではない学生は、社会が好きではない。
3.国語が好きな学生は、数学が好きである。
4.社会が好きな学生は、数学が好きではない。
5.数学が好きな学生は、英語が好きではない。

出典：東京消防庁・令和7年度・Ⅲ類1回目・問12

考え方

ポイント 条件がどれも例外を認めない全員向けのルールなら、命題と対偶を表に並べ、矢印をつないで選択肢を作ります。

「好きな人は別のものも好き」も全称型です。「全員」の文字がなくても構いません。「好きな人がいる」という存在の情報を扱う型は次の教材へ。条件に一つでも存在の話が混じると、この解法は使えません。

STEP1 条件を短い言葉と矢印にする

「英語が好きなら国語も好き」は 英語→国語 と書きます。科目名は「その科目が好き」の略です。矢印は左から右へ進める印。国語派でも英語派とは限らず、逆には戻れません。

否定は言葉の上に横線を引きます。図の数学に付いた上線は「数学が好きではない」。上線の写し忘れに注意しましょう。

覚えておく論理式の公式

まず、文字だけで書ける四つです。p・q・r は条件を表す記号として使います。

• 論理式の作り方：「p ならば q」は p→q と書きます。矢印は左から右へ進む向きです。
• 三段論法：p→q と q→r は共通の q でつなげます。p→q→r となり、ここから p→r が作れます。
• 「かつ」「または」：p と q が同時に成り立つときは p∧q、少なくとも片方が成り立てば p∨q です。
• 分解公式：p→q∧r は p→q と p→r の二本に分けられます。p∨q→r も p→r と q→r の二本になります。分けられるのはこの二つだけで、p∧q→r と p→q∨r はそのまま扱います。

残りは上線を使う公式なので、次の二枚で形ごと覚えましょう。

STEP2 命題と対偶を二列にまとめる

与えられたルールを命題と呼びます。その左右を交換し、両方を否定したものが対偶です。英語→国語 の対偶は、国語と英語を入れ替え、両方に上線を付けます。国語を好まないのに英語派なら元のルールに違反するので、対偶も使えるのです。

手元の命題・対偶命題の二列へ全条件を書きます。もとから否定の側は、再び否定すると肯定に戻ります。交換だけ、片側の否定だけ、にしないでくださいね。

分解公式も二つ補足します。以下の科目の例は、お題とは別の説明用です。

• 英語→（国語かつ数学）は、英語→国語と英語→数学に分けます。「かつ」は両方です。
• （英語または国語）→数学は、英語→数学と国語→数学に分けます。「または」は少なくとも一方で、両方の場合も含みます。

右側の「かつ」と左側の「または」だけが分解できます。逆の位置には使えません。分解後は各行に対偶を添えます。今回の二問では分解不要です。

STEP3 三段論法で選択肢を作れるか確かめる

矢印の到着先と次の出発点が一致したら、続けて進みます。たとえば 英語→国語 と 国語→数学 なら、英語→数学を導けます。これが三段論法です。科目名だけでなく、上線の有無まで一致させます。

選択肢も式に直し、出発点から表をたどって到着点へ行けるか試します。つながらないだけでは必ず誤りとも限りません。

解説

STEP1 三条件を論理式にする

アは英語→国語。イは英語→数学の左の英語に、ウは社会→国語の右の国語に上線を付けます。否定する側を原文と照合しましょう。

STEP2 全条件と対偶を表にまとめる

アは、英語派の行き先を国語派に決めています。

イを対偶にすると、数学を好まない人の行き先は英語派です。

ウを対偶にすると、国語派は社会を好みません。

イとウでは二重否定が消えています。右列も使える条件です。

STEP3 三段論法で選択肢 2 を確かめる

選択肢 2 は上線付きの数学から出発します。表で探すとイの対偶があります。

数学を好まない学生は、イで英語派になり、アで国語派にもなります。

その学生は国語派なので、ウの対偶から社会も好まないと決まります。

つながりました！ 英語と国語を省けば選択肢 2 です。この学生は条件を試すための仮の人で、実在を示してはいません。

選択肢を一行ずつ確かめる

「確実にいえる」は全条件から保証される文、「真偽不明」は真の場合と偽の場合が残る文、「不適切」は条件下で必ず偽になる文です。

• 1. 英語派がいれば社会は好まず反例になりますが、英語派がいない場合も残ります：真偽不明
• 2. イの対偶、ア、ウの対偶を順に使えば、数学を好まない学生は社会も好みません：確実にいえる
• 3. 英語・国語が好きで数学・社会は好きでない学生を置けるため、数学の好みは決まりません：真偽不明
• 4. 社会派がいれば数学も好きなので反例になりますが、社会派がいない場合も残ります：真偽不明
• 5. 社会だけを好まない学生なら数学と英語を両方好めるため、英語の好みは決まりません：真偽不明

正解は 2 です。

社会派から出発すると、ウとアの対偶で英語派から外れ、イで数学派に入ります。

これは肢 4 の反例を置ける理由です。ただし社会派がいなければ、違反する人もいません。反例を置けることと、反例が実在することは別です。

本番は正答を確かめたら次へ進み、全肢の吟味は復習に回します。捨て時は、表の両列を見てもつながらず、同じ行を探し直しているとき。一度離れ、時間が余れば戻りましょう。

別解：ベン図で確かめる

円は各科目を好む人の集まり。灰色には誰も入れず、それ以外は未定。重なりで存在を決めず、大きさも人数と読みません。まず読み方を二枚で見ます。

英語派なのに国語を好まない学生は、アに反します。

数学を好まない学生は、イから英語派だと分かります。

対偶は制限を加えず、同じ領域を別方向から読むだけ。続いてア・イ・ウを順に描きます。

合成図は国語の円を省きますが、条件は反映済み。イより英語も数学も好まない人はいないので、三円の外まで灰色。数学の外側から社会へは進めず、正答も同じ。

練習問題

○ の条件は上から一つ目・二つ目・三つ目と呼び、同じ三手順で解きます。

ある幼稚園に通っている子どもについて次のことが分かっているとき論理的に確実にいえるのはどれか。
○ゾウが好きな子どもはペンギンが好きではない。
○ゾウが好きではない子どもはキリンが好きではない。
○パンダが好きな子どもはキリンが好きである。

1.キリンが好きな子どもはペンギンが好きである。
2.ゾウが好きではない子どもはパンダが好きではない。
3.パンダが好きではない子どもはキリンが好きである。
4.ペンギンが好きな子どもはゾウが好きである。
5.ペンギンが好きではない子どもはパンダが好きである。

出典：国家初級・平成27年度・海上特別・問8

STEP1 好みを論理式にする

一つ目はゾウ→ペンギンの右側に上線、二つ目はゾウ→キリンの両側に上線、三つ目はパンダ→キリンです。

STEP2 三条件に対偶を添えてまとめる

手元の二列へ三条件を書き、隣に対偶を添えましょう。

一つ目は、ゾウ派とペンギン派の兼任を認めない条件です。

対偶ならペンギン派はゾウを好みません。

二つ目では、ゾウを好まない子はキリンも好みません。

対偶はキリン→ゾウと両側とも肯定に戻ります。

三つ目の対偶では、キリンを好まない子はパンダも好みません。

STEP3 三段論法で到着点を確かめる

ゾウを好まない子は、二つ目と三つ目をつなぐとパンダ派から外れます。

二つ目の到着点と三つ目の対偶の出発点は、どちらも上線付きのキリン。図の b は二つ目、c は三つ目の条件です。

選択肢を一行ずつ確かめる

判定語はお題で説明した三つと同じ意味です。

• 1. キリン派は二つ目の対偶でゾウ派となり、ペンギンを好みませんが、キリン派の実在は未指定です：真偽不明
• 2. 二つ目に三つ目の対偶を続けると、ゾウを好まない子はパンダも好みません：確実にいえる
• 3. 四種とも好まない子も置けるため、パンダを好まないだけではキリン派と決まりません：真偽不明
• 4. ペンギン派は一つ目の対偶でゾウを好みませんが、ペンギン派の実在は未指定です：真偽不明
• 5. 四種とも好まない子も置けるため、ペンギンを好まないだけではパンダ派と決まりません：真偽不明

正解は 2 です。

結論に一つ目は使いません。全条件を無理につなぐ必要はないのです。本番の捨て時もお題と同じで、表を何度も往復したら一度離れます。

別解：ベン図で確かめる

一つ目は兼任禁止、二つ目はゾウの外のキリン派を除きます。

三つ目で、キリンの外にパンダ派も入れません。

ゾウの外側はパンダの外側でもあり、結論と同じです。

次へ

解説を閉じて、記号化・表・三段論法の順で二問を解き直しましょう。次は 人の存在を追う命題のベン図 へ。「中にはいる」という情報が加わる型を練習します。