工房「何年分でも、倍率でつなぐ増加率と指数」1.1.0

何年分でも、倍率でつなぐ増加率と指数

導入

増えたり減ったりする表を見て、プラスとマイナスを足していませんか。増加率の表では、毎年「もとにする量」が変わります。この一講では、警察・消防などの教養試験に向けて、率を掛けつなぐ基本を練習します。最後の数を指数にも倍率にも読み替えられるようにしましょう。

使うのは特別区の過去問二問です。まず正答につながる一つの行に絞り、三年分だけを計算します。ほかの肢には細かな比較もありますが、最初から表全体を計算しなくて大丈夫です。

お題

表の数字は輸送量そのものではありません。表題と単位、△の意味を確かめてから読んでください。

次の表から確実にいえるのはどれか。

1.令和元年度において、「窯業品」の輸送量及び「食料工業品」の輸送量は、いずれも平成28年度のそれを下回っている。
2.表中の各年度のうち、「窯業品」の輸送量が最も少ないのは、平成30年度である。
3.平成29年度において、「食料工業品」の輸送量は、「機械」のそれを上回っている。
4.「機械」の輸送量の平成29年度に対する令和元年度の増加率は、「日用品」の輸送量のそれの2倍より小さい。
5.平成27年度の「砂利・砂・石材」の輸送量を100としたときの平成30年度のそれの指数は、90を上回っている。

出典：特別区・令和3年度・問22

考え方

ポイント 年ごとの率は直前の量に掛かるので、同じ品目の倍率を年順につなぐと、離れた年どうしを比べられます。

「増加率」は、もとの量に対して増えた分が何％かを表します。減った場合はマイナスです。「指数」は、ある時点を 100 にそろえて量を表した数。指数 120 なら 1.2 倍、増加率なら 20％です。120％増という意味ではありません。

STEP1 比較の起点を決め、使う年の率を倍率にする

たとえば冊数が一年目に 30％増、二年目に 20％減となったとします。30％増は、もとの 100％に 30％を加えた 130％、つまり 1.3 倍。20％減は 80％が残るので、0.8 倍です。

表の「2020年の増加率」は、2019年から2020年への変化です。2020年を出発点に選んだら、使い始めるのは2021年の列。出発点の列まで掛けると、計算が一年分ずれます。最初に「どの年から、どの年まで」と余白に書きましょう。

STEP2 倍率を順に掛け、指数と増加率を確かめる

出発点の冊数を仮に 100 とすると、一年後は 100 × 1.3 ＝ 130。二年後は、その 130 に 0.8 を掛けて 104 です。二年目に減るのは、最初の 100 の 20％ではなく、増えた後の 130 の 20％。ここが足し算では合わない理由です。

30 − 20 ＝ 10 として 10％増にするのは誤りです。求めるものが倍率なら最後の指数を 100 で割り、増加率なら指数から 100 を引いて％を付けます。この引き算が使えるのは、起点を 100 にしたからです。基準が別の数なら、そのまま引かずに比率から求めます。

また、仮の 100 は本当の冊数を突き止めた値ではありません。別の品目もそれぞれ 100 にして計算できますが、両方の実際の量が同じだとは扱えません。率だけで分かる範囲を守りましょう。

増減率が ±5% 以内なら、100 に足し引きするだけでよい。 これは近似値を出す目安です。次の箱には「どちらも 10％以内なら誤差は 1％以内」ともあります。±5％ならまず安全、10％までなら誤差は指数で 1 くらい、と覚えてください。境界に近いときや年数が多いときは、倍率を掛けて確かめます。使い分けは解説の別解で練習します。

主解法では、この箱の「基準を 100」に対応する仮置きを使い、各年の倍率を掛けます。近似とその注意は別解で使い、大きな率を分ける場面では 10％や 1％の作り方も利用します。

解説

STEP1 平成27年度を起点にし、三つの倍率を読む

今回は肢 5 の「砂利・砂・石材」を追います。起点は平成27年度、着く先は平成30年度。必要なのは平成28・29・30年度の三列です。平成27年度の △13.2 は、その一年前からの変化なので使いません。

平成28年度の 5.5％増は、前年の量を 1.055 倍する指定です。

平成29年度の 8.5％減は、前年の量を 0.915 倍する指定です。

平成30年度の 6.0％減は、前年の量を 0.94 倍する指定です。

STEP2 三年分を掛け、90との大小を確かめる

平成27年度を 100 として、100 × 1.055 × 0.915 × 0.94 を計算します。途中は 105.5、その次は 96.5325、最後は 90.74055 です。途中で丸めず、最後に必要な桁まで読めばよいのです。

三年分を掛けた指数は約 90.74 で、90 を上回ります。

これで肢 5 を選べます。二年続けて減っても、最初に増えた分は計算に残っています。符号の数を数えるだけでは、最後の量は決まりません。

別解：近似計算で確かめる

ここからは掛けつなぎに慣れた人向けの別解です。起点を 100 にするところは同じ。率を足し引きすれば、掛け算より早く見当を付けられます。ただし、近似で全部片づくわけではありません。

足し引きだけで見当を付ける。 後の練習の肢 4 を先に使います。日本の2017・2018・2019年は +10.0％・−12.2％・+16.5％。100 ＋ 10 − 12.2 ＋ 16.5 ＝ 114.3 となり、1.2 倍に当たる指数 120 に届きません。ここまで掛け算は一度もしていません。厳密値 112.5157 と結論は同じです。ただし大きな率を含むため、これは検算済みの例であって、近似だけで常に判定できるという意味ではありません。

使う目安は ±5％以内。 小さな変化なら、毎年の基準量の違いを省いてもずれが小さく済みます。まず操作例として、+8％・+3％・+2％を考えます。8＋3＋2 を 100 に加えると 113、倍率を掛けると約 113.5。差は約 0.5 です。+8％は目安を超えていますが、この例では近い値になりました。

練習の肢 1 でも、イギリスの2015年を起点にすると、100 − 2.7 ＋ 0.3 ＋ 7.5 ＝ 105.1。厳密には約 104.911 で、誤差は指数で約 0.2 です。ここも +7.5％は目安の外なので検算は必要ですが、検算後は 100 を上回るという結論を安心して読めます。±5％以内でも境界ぎりぎりなら掛け算に戻りましょう。

増と減が混ざったら、真の値は足し算の答えより小さい。 これは増加一回と減少一回を組にした場合の性質です。三回以上で増と減が混ざるときは、符号だけで誤差の向きは決まりません。同じ向きばかりなら、何回でも真の値のほうが大きくなります。二回なら増どうしは増え、減どうしは減りますが、どちらも真値は足し引きの値より大きくなります。増と減の組では、そこが小さくなる側に変わります。

たとえば +3％が三回続き、最後に −9％となる操作例。足し引きでは増減が打ち消し合って 100 ですが、100 × 1.03 × 1.03 × 1.03 × 0.91 ≒ 99.44 です。「差引きゼロだから元どおり」とは限りません。

お題の肢 5 では、100 ＋ 5.5 − 8.5 − 6.0 ＝ 91。境界の 90 まで余裕が 1 しかありません。今回は増減が混ざった結果、掛け算で求める真の値は 91 より小さく、約 90.74 です。小さくなる向きだと分かっても、90 より上に残るかは別。この肢は近似では決められないので、掛け算で確かめます。 これが主解法で厳密計算を選んだ理由です。

肢 1 の窯業品も、近似は 100 ＋ 13.1 − 11.5 ＋ 0.4 ＝ 102 ですが、真値は約 100.494。100 を超える余裕は 2 から約 0.49 に縮みます。近似の数字をそのまま厳密値として使わないでくださいね。

大きな率は分けてから扱う。 練習の肢 2、ドイツの +37.9％は ±5％を大きく超えます。そのまま足し引きせず、37.9％増を「40％増に対して 2.1％分を減らす」と見て、10％超の部分を後に回します。小さな部分を先にまとめ、（100 − 2.1 ＋ 1.1 ＋ 2.7 − 6）× 1.4 ＝ 95.7 × 1.4 ＝ 133.98 ≒ 134.0。40％分は 10％分の四つで作れます。これは元の倍率の厳密な分解ではなく、計算を楽にする近似です。

厳密には約 134.59。表示値 134.0 との差は真値の約 0.4％で、どちらも 130 を上回ります。大きい部分を別にした後も誤差は残るため、境界との余裕を見て使います。

逆算には足し引き近似を使わない。 練習の肢 3 は、後の2018年から前の2016年を求める割り算の向きです。100 ÷（1.178 × 1.133）≒ 74.92％が正しく、100 − 17.8 − 13.3 ＝ 68.9 とすると約 6 ポイントも外れ、70％との判定まで逆になります。

選択肢を一行ずつ確かめる

以下は復習用の全肢点検です。肢 1・2・4 は差が小さいので、基本の掛けつなぎに慣れてから取り組んでも構いません。判定は表の表示値から行います。「真偽不明」は、記述に反する証拠がある場合と分けます。

• 1. 窯業品の近似は 100＋13.1−11.5＋0.4＝102、掛けると 1.131 × 0.885 × 1.004 ＝ 1.00493874 倍。どちらでも平成28年度を上回るので、「いずれも下回る」は成り立ちません：不適切
• 2. 窯業品は平成28年度を 100 とすると近似 100＋13.1−11.5＝101.6。厳密には 1.131 × 0.885 ＝ 1.000935 倍なので、平成30年度より少ない平成28年度が反例になります：不適切
• 3. 食料工業品と機械の実際の輸送量が分からず、率から品目間の大小は決まりません：真偽不明
• 4. 機械は近似 10.1＋14.9＝25.0％、厳密には 26.5049％。日用品は近似 8.2＋4.1＝12.3％、厳密には 12.6362％。日用品の 2 倍は近似 24.6％・厳密 25.2724％で、近似どうしでは差が 0.4 ポイントしかないため掛け算で確認します。機械のほうが大きいです：不適切
• 5. 近似は 100＋5.5−8.5−6＝91。これだけでは決めず、平成27年度を起点に三つの倍率を掛けると約 90.74 で、90 を超えます：確実にいえる

正解は 5 です。

肢 3 でそれぞれを仮に 100 としてから比べると、与えられていない「同じ量」という条件を足してしまいます。同じ品目の年の比較と、異なる品目の量の比較は分けてくださいね。

本番の捨て時は、使う年を決められないまま、表の全行を計算し始めたときです。一度次の設問へ進み、残り時間で戻ります。正答が確定したら先へ進み、細かな全肢点検は復習に回しましょう。

練習問題

次は「指数」を「何倍か」に読み替えます。解説を隠し、日本について使う三列を自分で選んでください。

次の表から確実にいえるのはどれか。

1.表中の各年のうち、イギリスの政府開発援助額が最も多いのは、2015年である。
2. 2015年のドイツの政府開発援助額を100としたときの2019年のそれの指数は、130を下回っている。
3. 2016年のフランスの政府開発援助額は、2018年のそれの70%を下回っている。
4. 2019年の日本の政府開発援助額は、2016年のそれの1.2倍を下回っている。
5. 2017年において、ドイツの政府開発援助額の対前年増加額は、アメリカの政府開発援助額のそれを上回っている。

出典：特別区・令和4年度・問22

STEP1 2016年を起点にし、使う年の倍率を読む

肢 4 を見ます。2016年から2019年を比べるので、日本の2017・2018・2019年を使います。2016年の 13.2％は掛けません。

日本の2017年は 10.0％増なので、直前の年の 1.1 倍です。

日本の2018年は 12.2％減なので、直前の年の 0.878 倍です。

日本の2019年は 16.5％増なので、直前の年の 1.165 倍です。

STEP2 三年分を掛け、1.2倍との大小を確かめる

100 × 1.1 × 0.878 × 1.165 ＝ 112.5157。これは2016年を 100 とした指数です。倍率に戻すと 1.125157 倍。指数の 112.5 と倍率の 1.2 をそのまま比べないこと！

日本の三年分の倍率は約 1.125 で、1.2 を下回ります。

• 1. イギリスは2015年を 100 とすれば、2018年は近似 100−2.7＋0.3＋7.5＝105.1。厳密には 0.973 × 1.003 × 1.075 ≒ 1.049 倍で、2015年より多いです：不適切
• 2. ドイツは分割近似で 95.7 × 1.4 ≒ 134.0。厳密には 100 × 1.379 × 1.011 × 1.027 × 0.94 ≒ 134.59 で、130 を上回ります：不適切
• 3. フランスの2016年は2018年の 100 ÷（1.178 × 1.133）≒ 74.92％です。逆算なので足し引き近似は使えません：不適切
• 4. 日本は近似 100＋10−12.2＋16.5＝114.3、厳密な指数は 112.5157。2016年の約 1.125 倍で、1.2 倍に届きません：確実にいえる
• 5. 増加額は前年の額に増加率を掛けたものです。両国の前年の額がなく、大小は決まりません：真偽不明

正解は 4 です。

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二問の解説を閉じて、「起点」「掛ける三つの倍率」を口で説明してみましょう。最後の数が指数なのか倍率なのかも言えれば、この型の基本はつかめています。次は、指数で示された二つの項目から、人口当たりの件数などの割合を比べる問題へ進みましょう。