サイコロを「想像力」ではなく「知識」で解く標準講義

必須ツール――向かい合う面と面の入れ替わりを管理する

サイコロの問題で必要なのは、立体を正確に思い浮かべる力ではありません。面どうしの関係を、決まった手順で処理する知識です。

基礎講義では、面を1枚ずつ折ったり、転がした後の状態をすべて書き出したりしました。仕組みを理解するには有効ですが、本番ですべてを確かめると時間がかかります。標準問題では、調べる範囲を必要な部分だけに絞ります。

最初の道具は、サイコロの向かい合う面の判定です。正しい展開図の中に正方形が3枚一直線に並んでいたら、その両端の面は、組み立てたときに向かい合います。

使い方は次の3段階です。

• STEP 1：正方形が3枚一直線に並ぶ場所を探します。
• STEP 2：中央の面ではなく、両端の2面を特定します。
• STEP 3：両端の2面は向かい合うため、同じ頂点では見えないと判断します。

6面すべてを折り上げなくても、3枚の帯を見るだけで向かい合う面を確定できるのが利点です。

ただし、展開図上で辺を共有していない2面が、必ず向かい合うとは限りません。展開図では離れていても、組み立てると隣り合う面があるからです。一方、展開図上で辺を共有している2面は、組み立てた後も隣り合います。単なる見た目の近さではなく、辺のつながりや3枚の帯をもとに判断してください。

帯が見つけにくいときは、回転移動を使います。これは、3面が集まる点を中心に、外側の面を90°回すように移して、判定しやすい展開図へ変形する方法です。正しく移動すれば、組み立てた後の面どうしの位置関係は変わりません。模様がある場合は、面だけでなく模様の向きも一緒に90°回します。

もう1つの道具が、頂点まわりの巡回順です。1つの頂点に集まる3面を「ア→イ→ウ」のように、一定の向きで記録します。サイコロをどのように回転させても、この巡回順は変わりません。順序が逆になるものは鏡像、つまり鏡に映した形であり、回転だけでは一致しません。これは、模様の向きまで問われる問題で有効です。

転がす問題でも、6面すべてを追う必要はありません。最初に「上・下・右・左・前・後」の位置を決め、1回転がすごとに必要な面だけを更新します。

たとえば、サイコロを右へ転がすと、面は次のように移ります。

• 右面→下面
• 上面→右面
• 左面→上面
• 下面→左面

前面と後面は変わりません。この入れ替わりを1手ずつ記録すれば、サイコロ全体を毎回描き直さずに済みます。

典型パターン――どこだけ見ればよいかを先に決める

試験で扱われるサイコロ問題は、主に4つの型に分かれます。

展開図型は、与えられた展開図が正しく組み立てられるか、または組み立てた後の面の位置を問う問題です。まず1面を基準として固定し、その周囲の面を折り上げます。ただし、最初から全体を組み立てる必要はありません。選択肢の違いに関係する面だけを調べます。

展開図として成立しない配置には、代表的なものがあります。

• 正方形が5枚以上一直線に並んでいる。
• 4枚の正方形が2行2列に並んでいる。
• 折り上げたとき、複数の面が同じ位置に重なる。

このような配置は、誤答選択肢によく使われます。

向かい面型は、どの2面が向かい合うかを問う問題です。最優先で正方形3枚の帯を探し、その両端を向かい合う面として確定します。帯が見つけにくければ、回転移動で展開図を変形します。「展開図上で共通の辺を持たない」という理由だけでは、向かい合う面とは断定できません。

転がり型は、サイコロを指定された方向へ転がした後の上面などを問う問題です。最初に「上・下・右・左・前・後」の6つの位置を決め、転がす方向に関係する4面だけを入れ替えます。右へ転がす操作と前へ転がす操作を混同せず、1手ごとに状態を更新するのが定石です。

見取図型は、見えている3面から、隠れた面や別の向きの図を判断する問題です。注目するのは、1つの頂点に集まる3面です。向かい合う2面は同じ頂点に集まらないことを利用し、必要なら頂点まわりの巡回順で鏡像の選択肢を除きます。

どの型でも、問題文を最後まで読んでから手を動かしてください。「回転させてよい」のか、「裏返してよい」のかでは、許される操作が異なります。回転では頂点まわりの巡回順が保たれますが、裏返すと順序が逆になります。

求めるものと許された操作に印を付け、正面・上面・回転方向などの基準を紙に固定することが、途中で向きを見失わないための第一歩です。

標準例題――向かい合う面だけで消去する

次の展開図があります。横一列にア、イ、ウ、エの順で4面が並び、イの上にオ、イの下にカがあります。この展開図を組み立てたとき、1つの頂点に集まる3面として可能なものを1つ選んでください。

1. ア・ウ・カ
2. イ・エ・オ
3. ウ・オ・カ
4. ア・イ・オ

この問題では、模様の向きは問われていません。したがって、各選択肢に向かい合う2面が含まれているかどうかだけを調べれば十分です。

まず、向かい合う面を求めます。

ア・イ・ウは、正方形3枚の一直線の帯です。その両端であるアとウが向かい合います。

イ・ウ・エも、正方形3枚の一直線の帯です。その両端であるイとエが向かい合います。

さらに、オ・イ・カが縦に3枚並んでいます。その両端であるオとカが向かい合います。

したがって、向かい合う面は次の3組です。

• アとウ
• イとエ
• オとカ

これを使って選択肢を消します。

選択肢1には、向かい合うアとウが含まれています。向かい合う2面は同じ頂点に集まらないため、不可能です。

選択肢2には、向かい合うイとエが含まれているため、不可能です。

選択肢3には、向かい合うオとカが含まれているため、不可能です。

残るのは選択肢4だけです。したがって、正解は4です。

この解法では、サイコロ全体を頭の中で組み立てていません。3枚の帯から向かい合う面を確定し、「向かい合う2面は同じ頂点に集まらない」という知識だけで答えを出しています。これが、想像力に頼らず、知識で解く方法です。

時間との戦い方――全部を確かめない

標準的なサイコロ問題にかける時間は、問題全体の制限時間に応じて決めます。目安として、単純な向かい面の問題は1分以内、模様の向きや巡回順まで調べる問題でも2分以内を目指します。

最初に、次の3点を確認します。

• 何を求める問題か。
• どの方向へ回転または転がすのか。
• 裏返しが許されているか。

次に選択肢を見て、向かい合う面だけで消せるのか、頂点に集まる3面や模様の向きまで確認する必要があるのかを判断します。

確認する順序は、次のとおりです。

1. 向かい合う面
2. 回転移動
3. 1つの頂点に集まる3面
4. 模様の向きと巡回順

1分ほど考えても基準面が定まらず、同じ図を何度も描き直しているなら、いったん後回しにします。特に、頭の中だけでサイコロを回し続けている状態は危険です。紙に「上・正面・右」を固定しても整理できなければ、別の問題へ進んでください。

見直しでは、すべてを解き直す必要はありません。次の4点だけを確認します。

• 見る向きと基準面を固定したか。
• 必要な隠れた面を補ったか。
• 展開図や位置の表に置き換えたか。
• 回転と裏返しを区別したか。

消去法で答えが1つに決まった時点で、そこで終了します。サイコロ問題では、6面すべてを調べる人より、答えを決めるために必要な部分だけを正確に調べる人の方が、速く安定して得点できます。